Файл: Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 58

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

72

(156)

Это означает, что аппроксимирующий полином при т = п превращается в интерполяционный полином Лагранжа и никакого сгла­ живания (уточнения) координат и скорости не производится.

Вконце параграфа рассмотрим вторые члены в формулах (153)

и(154). Нетрудво убедиться, что они являются малыми величина­ ми в случае, когда на участке аппроксимации зависимость p R ( t - j

близка к линейной.

1

В самом деле, при

с = I получаются следующие выражения

да* PKS и L KS‘

 

Из формулы видно,

что р

представляет

собой

среднее ариф­

метическое из трех, a

L Ks-

из двух опытных данных в окрест­

ности точки

t s

. Если бы ошибок измерения

не было, а опытная

зависимость

р к

( t-L)

была линейной, то PKS

= £

.

В реальных

случаях экспериментальная зависимость на участ­

ке аппроксимации близка к линейной. Поэтому можно считать, что выполняются приближенные равенства:

Р

л /

'К s

и К S >

Их разности ( Рк s - Z, к s ) H ( o l K3- c o KS) являются малыми вели­ чинами по сравнению с первыми членами. Можно показать, что функ ции Fc и Фс ограничены п поэтому вторые члены в формулах

(153)и (154) также являются малыми.

Поэтому на участках довольно частых измерений, где при до­ статочно большом значении с зависимость р н ( t ) будет близка к линейной, можно пользоваться укороченными формулами для оп­ ределения координат и скорости движения ЛА:

(157)

(158)

Р k s ~ 04 k s *

73

§10. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ПО ИЗБЫТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Впроцессе определения параметров движения по избыточным

измерениям используются исходные

данные

в виде координат

р к

или составляющих скорости

р н

,

вычисленные

по опытным доста-'

точным измерениям r f .

И так

как

последние

содержат ошибки

измерений, то и параметры движения

р н

также

получаются

с

ошибками, которые могут быть оценены по формулам, выведенным

в § 7.

 

При оценке точности определения параметров движения по из­

быточным измерениям будем считать параметры

р к свободными от

систематических погрешностей, мх случайные

ошибки - независи­

мыми, а измерения - равноточными в пределах интервала аппрок­ симации.

В этом случав для ошибки вычисления координат по формуле

(153) можно получить

следующее выражение:

 

 

6 Р

 

б Рк

(159)

 

 

=

 

r HS

 

 

где е>р

- ошибка определения координат по достаточным

изме­

рениям;*

Fc - функция от с , определяемая в уравнениях

(153).

Эта же формула пригодна и для оценки ошибки в определении составляющих вектора скорости движения ЛА по формуле (153). Это возможно, как отмечалось выше, в том случае, когда в ка­ честве исходных материалов для этой формулы использовать со­ ставляющие вектора скорости, полученные непосредственно по из­

меренным значениям скорости

( В , & , & ) •

В тех же случаях, когда

составляющие скорости определяются

по формуле (154) для ошибки скорости, можно получить следующую

формулу:

o,s

в,Р к

3 { 1 + Ф с )

=

(160)

 

с ( с + 1)(2 с + 1)

где 5 - - ошибка определения координат по достаточным измере­ ниям; УнФс- функция от С , определяемая в уравнениях (154)

Если же для определения сглаженных значений координат и составляющих вектора скорости использовать укороченные форму­ лы (157) и (158), то ошибки при этом можно оценить по формулам

 

74

s

( Ш )

’p« s

V z c + T ’

3

0,5

(162)

c ( a - 1) ( 2c + 7,)

 

Сравнение соответственных формул (159) с (161) и (160) с (162) показывает, что учет дополнительного члена в расчетных формулах (153) и (154) увеличивает случайную ошибку определения коорди­

нат p KS в l/ 1 + Fc

раз, а ошибку определения составляющих

скорости вуТ+Ф^

раз. Но использование укороченных формул

(157) и (158) приводит к методическим ошибкам, величины кото­

рых 8 p KS и 8 p KSмогут

быть оценены вторыми членами формул

(153) и (154), которые

в укороченных формулах не учитываются:

 

(163)

Сравнивая систематические ошибки 8 р н в ъ б p KS , вызванные

переходом к укороченным формулам определения параметров движе­

ния, с уменьшениями

случайных ошибок

Д е ^ и Дб^

соответ­

ственно, вызванными

тем же переходом,

можно сделать

вывод о

целесообразности использования укороченных формул. При этом ве­

личины Д© и

Д ©•

можно определить до формулам

 

 

 

 

 

>

(164)

В заключение остановимся на выборе интервала аппроксима­

ции, величина которого характеризуется числом точек с

,

вхо­

дящих в интервал

[£;

,

, и величиной шага измерений

h d

Как видно из

формул для

оценки точности координат-,

ошибка

их определения непосредственно от шага измерений не зависит. Она зависит от числа с . Как следует из формул (161) и (159),

с увеличением

с случайная ошибка

определения сглаженных зна­

чений координат уменьшается. Однако

с ростом

с

при неизмен­

ном шаге h

увеличивается

протяженность участка

аппроксимации

и, как правило, возрастает

нелинейность, а с

ней

и методиче­

75

ская ошибка аппроксимации опытной зависимости. Поэтому должно существовать оптимальное значение с0пт , которое обеспечивает минимум общей ошибки в определении сглаженных значений коорди­ нат .

Ошибка в определении скорости по избыточным измерениям, как

видно из формул (160) и (162), зависит

не только от

с

,

но и

от величины шага опытных данных h

на

участке

аппроксимации.

Оптимальное число сопт (или шаг

h

) можно

нейти методом

выполнения серии расчетов с различными

значениями

с

и

h с

последующим анализом полученных результатов.

 

 

 

 

■Для уменьшения количества вариантов при этом исследовании можно воспользоваться приближенными формулами, полученными пу­

тем исследования на экстремум простейших формул

для опреде­

ления скорости

 

с о п т

(165)

где третья производная от сглаженной координаты по времени мо­ жет быть определена по формуле

,•

 

 

7 0 ( 3 0 * * 3 0 - 1 )

 

 

 

Р “ ’

-

h*

' t c V

Sc3- 7 с* -11

'

(

)

Как следует

из фородлы (165),

значение С0пт при

заданном

 

шаге h и точности исходных данных б ^ к

существенно зависит

от скорости изменения ускорения ЛА p KS .

На тех участках траек­

тории, где ускорение движения ЛА меняется слабо, абсолютная

 

величина производной | p KS|

имеет меньшее

значение, чем на тех

участках, где ускорение движения меняется

по времени сильно.

 

В последнем случае количество точек, входящих в интервал ап­

 

проксимации,

должно быть меньшим.

 

 

 

 

 

Значение

с опт тем больше, чем меньше

шаг исходных данных

при прочих неизменных условиях.

В заключение следует заметить, что приведенные формулы для определения сглаженных значений координат, составляющих скоро­ сти и ускорения, могут быть непосредственно использованы и для определения отклонений параметров фактического движения от их расчетных значений.

76

Г л а в а 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7ВИЖЕНИЯ ДА ПО ИЗБЫТОЧНЫМ ТРАЕКТОРНЬШ ИЗМЕРЕНИЯМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотренные ранее методы позволяют определять параметры движения на, любой момент времени непосредственно по результа­ там достаточного количества траекторных измерений. Указанные методы целесообразно использовать для определения параметров движения в том случае, когда на ЛА действуют большие сравни­ тельно быстро меняющиеся силы, характеристики которых нуждают­ ся в уточнении по материалам траекторных измерений. Примером такого случая может являться движение ракеты на активном участ­ ке траектоши.

Что же касается определения пассивного движения ЛА по ре­ зультатам измерений, когда участки траектории имеют большую протяженность и не могут быть всплошную проконтролированы с помощью траекторных измерений, то здесь целесообразно приме­ нять методы, использующие не только результаты траекторных из­ мерений, но и уравнения движения ЛА. При этом, как увидим ниже, непосредственно по опытным данным могут определяться не только

параметры движения,

но и некоторые суммарные его характеристики,

Под термином "определение движевия" будем в дальнейшем по­

нимать определение по результатам

траекторных измерений r f

не только параметров

р к ( к = 1,2,...,б),

но и указанных выше сум­

марных характеристик

движения у

( i =

/, 2 ,, .. , я).

Известно, что параметры движения связаны с характеристика­ ми траектории:

Рк = Pk ( 4 i >*)■

(1б7>

77

А так как измеряемые

параметры

r f

зависят

от

параметров

движения

 

 

 

 

 

 

 

= rf

(рк ) ,f = l , 2

1 . . . ,

N ,

 

(168)

то они также зависят и от

элементов траектории

 

 

 

^

= <?f ( Яь

> * ) •

 

 

 

(1б9)

Если бы измеренные

значения параметров

былиточными (^. = 7j^),

то имело бы место равенство

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

( 1 7 0 ) .

Здесь, как и в дальнейшем, будем считать,

что ц ^ ^ и

rf отно­

сятся к одному и тому же моменту времени

 

t f -

времени выпол­

нения измерения.

 

 

 

 

 

 

 

В этом случае можно было бы подобрать такую единственную совокупность элементов траектории , которая удовлетворя­ ла бы уравнению (170).

Для этого можно было бы использовать любую выборку измере­ ний, объем которой равен количеству определяемых элементов тра­ ектории.

Но поскольку все практически получаемые измерения содержат

ошибки Д гу

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r f

-

r f + Д r f ,

 

(171)

то совокупность истинных

(без ошибок)значений

элементов тра­

ектории

q,l

не будет удовлетворять условию

 

 

 

 

 

 

 

 

? > = 0 -

 

(172)

Если же из

последних

соотношений при N =

п

определить

элементы орбиты

^

,

то они будут содержать ошибки:

 

 

 

 

Я г Я ь + П ь -

 

(173)

Для того, чтобы в какой-то

мере компенсировать

влияние ошибок

измерений

A r f

на ошибки определения элементов траектории Д ^ ,

необходимо

использовать

избыточное количество

измерений (№»п)>

В этом случае система уравнений (169) будет несовместной и мо­ жет быть записана только условно. Называется она в этом случае системой условных уравнений.

Смотрите также файлы