Файл: Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 55
Скачиваний: 0
Звездное вреия на меридиане точки начала измерительной систе мы координат, как известно, может быть вычислено по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(89) |
где |
SQ - |
звездное |
время в полночь на гринвичском меридиане; |
|||||||||
т - |
московское время в момент выполнения измерений в часах; |
|||||||||||
Iи. - |
поправка перехода от среднего солнечного |
времени к звезд |
||||||||||
ному; |
|
- |
долгота начала координат |
|
j |
-й системы от гринвич |
||||||
ского меридиана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Координаты измерительного пункта в абсолютной геоцентриче |
||||||||||||
ской |
системе |
координат можно вычислить по формулам: |
||||||||||
|
|
|
|
\- = v |
osv |
osv |
|
|||||
|
|
|
|
y0j |
= v |
|
osV |
Lnd<v ’ |
|
|||
|
|
|
|
Z„. = n |
|
. sin |
il) . |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Oj |
|
Oj |
TOJ |
|
|
|
|
|
где |
p . - |
радиус |
Земли в точке начала |
измерительной системы |
||||||||
координат |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если пересчет |
координат |
|
ведется |
в |
относительную геоцентри |
|||||||
ческую (гринвичскую) систему, то вместо |
d . |
необходимо ис |
||||||||||
пользовать |
долготу |
измерительного |
пункта |
Л . . |
|
|||||||
Если бы составляющие |
вектора |
скорости |
на оси заданной си |
|||||||||
стемы координат были известны, то вектор скорости, как извест
но, можно было бы записать в виде |
|
||
|
V = V x i ,,,+Va y (') +V2 1 (' \ |
(90) |
|
где х (,) , у и), 1 (,) |
- единичные |
векторы (орты) |
заданной систе |
мы координат. |
|
|
|
Так как процесс |
расчета всех |
составляющих скорости фор |
|
мально одинаков, то можно ограничиться выводом формул для по
лучения составляющей |
V x . |
х . |
|
|
||||
|
Пусть |
нам |
известны значения координаты |
для моментов |
||||
времени |
t £ |
, где |
L = |
1 , 2 , . . . , S , . . . , к |
(рис. |
25). |
Предпо |
|
ложим, что необходимо вычислить составляющую скорости |
на ось |
|||||||
х |
в момент |
времени |
t |
. Для этого рассмотрим некоторую |
||||
непрерывную функцию времени x = x ( t ) . Будем считать, что она имеет все производные. Тогда на основании разложения в ряд
|
ад |
|
Тейлора функции x ( t ) в |
окрестности точки i |
можно нашсать |
следующие выражения для |
значений функции в моменты времени |
|
производные функции x ( t ) по времени.
Вычитая из первого равенства системы (91) второе, получим
Последнее |
выражение можно переписать в виде |
||||
|
|
|
|
|
(93) |
где |
Rn - |
сумма |
всех |
х |
|
членов |
ряда |
(92) |
за ис- |
||
ключением первого.Опыт |
|
||||
показывает, что для ма- |
|
||||
Ъых значений |
|
|
|
||
величиной |
R |
при вы |
|
||
полнении практических |
|
||||
расчетов можно пренеб |
|
||||
речь. |
|
|
|
|
|
Решая это уравнение |
|
||||
относительно |
производ |
|
|||
ной х $ при |
RП = 0 по- |
|
|||
лучим |
|
|
|
|
Рис.25. График зависимости от времени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координаты, вычисленной по результатам |
|
|
|
|
|
достаточных измерений |
Теперь применим полученную для непрерывной функцииx = x ( t ) |
|||||
формулу (94) |
непосредственно для вычисления составляющей ско |
||||
рости |
Vx = x s |
. Это можно сделать, так как координаты ЛА |
|||
изменяются по времени непрерывно, хотя результаты измерения |
|||||
получаются |
обычно дискретно. |
||||
С учетом |
сказанного можно записать, что |
||||
44
V |
= ~ |
|
*в+г‘.-, |
(95) |
|
. 4 |
|
5 |
|
||
Если шаг измерений A t |
постоянный, что на практике имеет |
||||
место чаще всего, то интервал времени в формуле (95) |
можно |
||||
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
V .,“ 2 A t - |
(96) |
||
|
|
|
|||
Тогда для составляющих скорости по всем трем осям задан |
|||||
ной системы координат будем иметь |
|
|
|||
V = X |
= |
S+) |
S-! |
|
|
*8 |
S |
|
2A t |
|
|
|
|
U s h |
i/s-i |
(97) |
|
V &= |
2At |
|
|
||
V = г = К , |
" 2 S-, |
|
|||
zs |
« |
|
2ДД |
1 |
|
С помощью полученных формул можно получить зависимости состав ляющих скорости от времени. Дифференцируя их по времени, полу чим формулы для вычисления ускорений в виде:
W |
= V |
=2 |
= -**1 Х *-1- |
|
|
|
|
|
|
2At |
|
W.. =V |
= g |
= у ** . |
(98) |
||
ys |
Us |
|
|
2A t |
|
W |
= V |
= z |
= |
~S4 |
|
' h |
-is |
“s |
|
2At |
|
Полученные формулы для расчета |
составляющих |
скорости и |
|||
ускорения используются при достаточно точных измерениях коор динат, когда шаг измерений сравнительно большой и ошибки опре деления координат сказываются в меньшей мере.
Метод дифференцирования интерполирующих полиномов
Пусть нам известны табличные значения координат 5?.
Z., полученные по результатам траекторных измерений для из
вестных моментов времени |
t £ (рис.26). |
Выберем некоторую до |
|||
статочно малую окрестность |
точки |
t |
так, чтобы слева |
в |
|
нее входило Cf |
точек, а |
справа |
- С2 |
. Можно подобрать |
ин- |
45
терполяционный полином
(например, известный
х
полином Лагранжа), ко торый обеспечит прохож дение изображаемой им функции через все выбран ные точки:
■£<»>
V - r
С,
- |
. |
с |
Рис.26. Интерполяционный полином, по лученный по опытным данным
Дифференцируя эти полиномы по времени, получим аналитиче ские выражения для скорости и ускорения:
( 100)
( 101)
Как интерполяционные полиномы, так и их производные по . времени позволяют вычислить координаты, скорости и ускорения для любого момента времени из окрестности точки £О . Однако широкому применению этого метода при достаточных измерениях препятствуют неточности измерений.
Метод непосредственного вычисления составляющих скорости по результатам траекторных измерений
Рассмотрим два наиболее простых варианта составов измере ний, позволяющих определить скорость непосредственно по резуль татам измерений:
46
|
1) по трек лаллонньш дальностям и радиальным скоростям, |
|||||||||||||||
измеренным с трех |
разнесенных пунктов; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2) по дальности D |
, |
углам |
d |
и |
у |
, |
радиальной скорости |
||||||||
i |
и угловым скоростям линии визирования |
d |
a |
y |
при одно- |
|||||||||||
пунктной схеме измерений. |
|
|
|
|
|
|
С целью получения рас |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четных формул для перво |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го |
|
варианта |
состава |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3 ,- |
, i j |
, j |
=1,2,3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис.27) запишем уравне |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния позиционных |
сфер, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определяемых измеренны |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми дальностями: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x |
|
- x |
OJf + ( |
y - y |
OJf + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (Z -Z 0. f = J 2 . |
(102) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продифференцировав эти |
||||||
рости по радиальным скоростям и |
на |
|
уравнения |
по времени |
||||||||||||
|
клонным дальностям |
|
|
|
|
|
и разделив левую |
и пра |
||||||||
вую части на 22) . |
|
подучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«/ = /,2,3, |
|
|
|||
|
|
d |
X |
j |
V |
у |
d |
г |
d |
’ |
|
(Ю З) |
||||
|
I , |
V_ + т. |
|
+п. |
V =D. , |
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
X ~ 2 п: |
|
m ’ = |
M- r |
L |
|
п. = |
г - г 0 : |
- |
на- |
||||||
1 . = ------- ^ |
' |
’ |
------ |
|
||||||||||||
|
D j |
"V “ |
|
D j |
|
'Vd |
|
ис |
i , V = у |
, V = й - |
||||||
правляющие косинусы линии визирования |
0i А |
; V = |
||||||||||||||
искомые составляющие вектора скорости. |
|
|
|
х |
|
у |
г |
|||||||||
|
Решение системы линейных уравнений (ЮЗ) может быть запи |
|||||||||||||||
сано |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
1 |
|
н < и |
н |
|
[> |
где определитель системы
Д =
- |
А .- ; |
(104) |
|
||
|
~ д |
|
L, Л7, л
1г п
h л
47
a |
Л г |
" определители, получающиеся из определителя |
||
системы путем замены соответственно |
первого, второго и треть- |
|||
его столбцов правыми частями ( D |
i> t h |
) системы урав- |
||
нений (103). |
|
|
|
|
Система |
(104) |
имеет единственное |
решение, |
так как ее опреде |
литель, составленный из направляющих косинусов трех линий визи
рования |
на точку |
А |
из |
разнесенных |
точек |
и |
’ |
|||||
не равен |
нулю |
Последнее вытекает из взаимной непараллельности |
||||||||||
линий |
0t А |
, |
С>2 А |
и |
О А |
|
|
|
|
|||
Определение состав |
|
|
|
|
|
|||||||
ляющих вектора |
скорости |
|
|
|
|
|
||||||
в заданной |
системе по |
|
|
|
|
|
||||||
измеренным |
Ък |
, |
d j |
, |
|
|
|
|
|
|||
ь |
■ |
bj |
• |
4 / |
• |
Ь |
|
|
|
|
|
|
лучше начинать в изме |
|
|
|
|
|
|||||||
рительной |
системе |
коор |
|
|
|
|
|
|||||
динат. На рис.28 пока |
|
|
|
|
|
|||||||
зана |
схема измерений в |
|
|
|
|
|
||||||
этом случае. Для удоб |
|
|
|
|
|
|||||||
ства выполнения даль |
|
|
|
|
|
|||||||
нейших выкладок введем |
|
|
|
|
|
|||||||
в рассмотрение линейные |
|
|
|
|
|
|||||||
скорости, |
определяемые |
Рис.28. Определение составляющих ско |
||||||||||
через |
измеряемые пара |
|||||||||||
метры |
|
|
|
|
|
|
|
рости по наклонной дальности, радиаль |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ной скорости, углам и угловым скоро |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стям |
линии визирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V. = |
- |
|
|
(105) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где d. = D. cos |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
<f |
d |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом соотношений (105) составляющие скорости ЛА на оси местной системы координат можно определить по формулам, непо средственно следующим из рис.28:
(106)
