Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2)

у'

- 2

j

е * - ‘ y ( t ) d t = ()

у (0) =

!;

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

y r —

j

( x — t) у (t) dt — cos x

у (0) =

1;

 

 

 

 

 

 

 

о

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

ij

— у Н- j sin (л: — t) у (t) d t =

\ — sin x

у (0) =

0;

 

 

 

 

 

 

й,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

у'

+

^ J0 {x — t) у {t) dt =

cos x + x l x (x)

у (0) =

Оь

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

_____

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

у' +

W

(2 V x - t ) y { t ) d t = 1

+

xJt (2 V x )

у (0) =

0;

7)

y" +

[

sin (x — 0

\y" V) +

У (0] dt =

2 cos x

у (0) =

0,

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у' (0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

у "

-

4

\

e-< *-'> [у’ {t) + у ( 0 ] dt = 0

у (0 ) =

0,

y ' { 0 ) = 12

 

 

 

 

6J

ДГ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9)

y“ — y — 4 ^ { x — t) cos {x — i)

 

(<) dt — 0,

 

у (0) =

4,

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у ’(0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

225г/" — 16 f cos-------- у' (t) dt =

— 15 sin —

 

 

 

 

 

 

 

 

j

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 (O )= O ,y (O ) =

4 - .

 

 

 

 

 

 

 

 

51

117. Найти общие решения интегро-дифференцйальных уравнений:

X

1)

у'

+

2у + J

+ Яех~ ‘] у (t) dt = 0;

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

X

 

2) у'

+

У +

\ {х — t +

1) у (t) dt = х;

 

 

 

х

О

 

 

 

 

 

 

3)

у" — 2 j

e ~ {x- t)y ( t ) d t = 0;

 

 

 

О

дг

 

 

 

 

 

 

4)

 

 

^ — 4 J (jc— /) cos (х — t) у (t) dt =■ 0;

 

 

 

 

о

 

5)

y " ~

4 j £“ <*-*> [ /

(0 + у (0] <7* =

 

 

 

о

 

 

118. Найти частные решения систем интегро-дифференциальных урав нений:

 

 

х

2г/' 4- у — 2г

+ j (1 + х — t) z (t) dt = 0

 

 

0

 

 

*

t,' — г ' +

у + J ех~ 1у (t) dt — 0

 

 

0

 

 

X

у' + у — z

+

^ ех~ 1у (t) dt = 0

 

 

0

о II о ^5

*(0) = l;

у ( 0) = 0,

X

z ’ - у - \ ( x - t ) z { t ) d t = 1 г ( 0 ) = 1;

J 0

52

36у' — 36z '

I

x — t

У (0) =

1.

— 5 \ cos — - — z (t) dt = 0

3)

 

 

 

 

 

18i/ +

72z" — 5

sin — -— у (t) dt = 0

* ( 0) =

1.

 

 

о

 

z' (0) =

0;

!

x

 

 

 

 

y" — z - f J

(x — t) ex~*z (t) dt = ex

0 (0) =

2 ,

4)

0

 

 

0'(O) =

O,

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

z" — y' — z' -f- ^ cos (x — t) у (t) dt = 1

* ( 0) =

1,

 

 

 

 

г ' (0) =

— 1.

119. Найти периодические решения интегро-дифференциальных урав­

нений:

х

1) у' — у — J (х — t) у (t) dt -f- 1 4- sin x = 0;

 

 

 

 

 

 

x

 

2)

у"

+

5у' +

у = cos х

+ J sin 2 (x — t) [у" (t) + у (<)] dt)

 

 

 

X

 

 

 

 

3)

у"

-f зря |

cos p (a: —

y' (0

dt = p sin

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л:

 

4)

у" +

7y = 6e—5jr +

3

f e~5^

[y'(t) + by (0] d t ;

 

 

 

 

 

6

 

5)

y"

+

7y =

sin x +

3 [ е~5{х~ 1) [у' (t) + by (0] dt.

 

 

 

 

 

6

 

 

53

120. Найти периодические решения систем интегро-дифференциальных уравнений:

Гх

! у' — 4г = 2 J sin 2 (х — t) [у' (t) — 4z (<)] d t ,

°3\

! г ' + У =

 

j sin — ( x — t) у ( t ) d t - — s i n y - x ;

l

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

 

2у — z

— 3

f sin (x — t) z (t) dt = cos x,

у +

z '

+

J (x — t) у (t) dt =

1 — 2 sin 2x;

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

y ' +

z ' = ^ { x — t) [y{t) +

z ( t ) ] dt x2,

3)

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

1

r

x — ^

 

у 4- z

=

 

 

— — \ s i n ----— y(t) dt — sin x;

 

 

 

/

2

o'

V 2

 

 

X

 

 

 

 

 

 

yn ~

J ex~l \y' (t) +

г (/)] dt — sin x — cos x,

о

4)*

z " = ^ (j: — t) [y (t) — z r (^)] dt — sin x + cos x.

о

Р А З Д Е Л П Я Т ЫЙ

СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ

121. Пусть ф(р) f(x) и S — сумма числового ряда

« = 2

(±

!)"?(« )••

п=т

 

 

 

Показать, что

 

 

 

г

f ( x ) e ~ mx

s - i ± ^ r \

 

\ l e_ x

dx-

0

 

 

 

122. Пусть:

 

 

 

а) ф (Р)г»/(0.

функция

бесконечной функциональ­

б) F(t, х ) — производящая

ной последовательности

 

(х)} , т. е.

F (t , х ) = ^

'Ы -'0 <л и

 

п=о

 

55

в) функциональный ряд

 

оо

 

2 f («)

(х)

л=0

 

в интервале a<x<& сходится к функции г>'(х).

Показать, что

 

£(*)== J f ( t )

F (е~(, x ) d t .

o

 

123. Пользуясь формулой, приведенной в примере 121, найти суммы следующих рядов:

________1_________

1)

 

л ( л + 1)(л + 2)

 

 

 

 

 

 

2)

 

___________ ( ~ 1)л_______________

 

(2л + 1) (2л + 2) (2л +

3) (2я+4)

’

 

я = 0

 

 

 

 

 

 

3)

 

__________ ( - 1 )я~*____________

2

л (2 л +

1)(2л + 2)(2л + 3)

'

 

4) V

____________ я

- +

3й-+ 3 ______________

 

 

- U

л ( л +

1)(л + 2)(л +

3) ’

 

 

/1 - 1

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

Л

 

 

 

оо

 

 

 

 

 

5)

 

(2л -

1)2 (2л + I)2

 

 

 

Л =1

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

2я +

1

 

 

 

2

Я2 (Л -f

1)2

 

 

 

 

 

П=1

56

Смотрите также файлы