Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 4
{__ пяо 2 л + 1 ,v2 |
|
3) Н2п (х) = -----------—-------- |
\ Р пе ~ р cos 2xt dt; |
V«
4)Н2п}л{х) = - — - S - \ t-nArle~it sin 2xt dt
|
|
|
|
|
лГ~ |
|
|
|
|
|
|
|
102. |
Доказать, |
что |
e~xtdt |
|
sin xt |
■dt. |
|
|
||||
<2 + 1 |
J |
t |
+ |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
103. |
Доказать, |
что |
te xid t |
f |
cos xt |
|
|
|
||||
\ --------:— |
= \ —:---- :— dt. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
<2 + 1 |
J |
t + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
104. |
Используя |
|
изображение |
интеграла f |
(x) = |
r |
cos xt |
|||||
|
\ |
—---~ d t , до |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
-j- t~- |
|
казать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
c |
|
|
d |
t |
n |
|
|
||
|
|
\ sh a (x — t) sin bt — ■= |
|
— sh ax. |
||||||||
|
|
b-+со |
J |
|
|
t |
|
|
2a |
|
|
|
105. |
Используя |
|
изображение |
интеграла/( x ) = |
\ |
cos xt |
||||||
|
до |
|||||||||||
|
казать, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь |
cos bx |
|
sin bx |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d x = |
arctg + ch b. |
|||||||
|
|
— — |
+ |
sh (b — x ) -------- |
|
|||||||
|
|
1 + |
X 2 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
о
41
106. Доказать формулу, принадлежащую Дирихле,
|
|
|
|
|
|
|
е _ 6 у |
о _ ! |
|
|
|
г (s) \ ^ТГ |
x)s |
d x = |
г (0 |
\ |
(а + |
у) 7 |
d H- |
||
|
(b + |
|
|
|
о |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
||
107. Считая т целым положительным, доказать что |
|
|||||||||
. |
sin2mj; |
(2т)! |
Г |
|
|
ts~ 2 dt |
|
|||
1) \ |
------:— d x |
(^Д)1 |
|
|
|
|
|
|||
Г (s) |
)J |
(7= + |
22)(72 + |
4= )...(^ + 4m2) ’ |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
sln2m-HAr |
(2m + |
1)! |
|
|
|
ts~ 4 t |
|
||
2)5 |
- d x = |
|
Г (s) |
J (72+ l 2) (72+ 32) .. .[72 +(2m+1)=] |
||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Р А З Д Е Л Ч Е Т В Е Р Т Ы Й
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
108. Решить интегральные уравнения первого рода типа Вольтерра:
х
1)sh х — С cos (х — t) и (t) dt\
о
ж
2)sin2 х = ^ sin (х — t) и (t) dt\
о
а:
3) х п — ^ ch (х — t) и (£) dt)
о
X
4) / (х) = j е - ^ - ^ и (t)dt / (0) = 0;
о
43
5) |
х 4 = |
j* (jc2 -f |
6jc/ — It2) a (/) at; |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
'6) |
** = |
j |
(2jc3 — 3x2/ + *з) и (/) dt, |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
109. Решить |
интегральные |
уравнения второго рода Лина Вольтерра: |
||||
|
|
|
|
|
х |
|
X) |
и (х) |
= |
cos 3-г + [ е~(х~ ‘^ и (t) dt; |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
2) и (х) |
= |
|
|
8 |
г |
|
sin 2х — — • \ sh 3 (х — t) и (t) dt, |
||||||
|
|
|
|
|
3 |
о |
3) а (х) |
= |
|
|
7 |
г |
|
cos 5х — — • \ sh 4 (х — t) a (t) dt; |
||||||
|
|
|
|
|
х |
о |
|
|
|
|
|
|
|
4) и (х) = х п — a J sh а (х — t) и (t ) d t ; |
||||||
|
|
|
|
х |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) и (х) |
= |
х 3 + |
J |
sin (л: — t ) u ( t ) d t ; |
||
|
|
|
|
о |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
и (х) = |
sin х + |
j" |
(х ~ t) и (t) dt; |
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
X |
|
7) |
и (х) |
= |
cos х |
+ |
^ /j ( х — t) и (t) dt, |
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
л: |
|
8) |
и (х) |
= |
J0 (х) |
+ |
^ /j (х — t) и (t) dt; |
|
44
X
9) и (лг) = |
F (х) -f X^ (х-— t)n |
1 u(t) dt |
(tt — целое, полоЖН- |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
тельное |
число); |
|
|
|
|
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
10) и (х)'= F(x) + |
X^ ^ ( ^ “ 0 (х — t)n~ A a (t) dt (п — целое, по- |
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
ложителыюе |
число); |
|
|
|
|
||
|
|
|
х |
|
|
|
|
11) а (х) = |
F(x) |
Н- X ^ / ( х — t, |
I ( |
h ) u ( t ) d t |
(ядро — первый |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
синус порядка |
и, см. пример 23); |
|
|
||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
12) к {х) = |
F (х) + |
I ^ h (х — t\ |
1, |
n ) a ( t ) d t |
(ядро — первый |
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
гиперболический синус порядка п, |
см. |
пример 24). |
|||||
110.Решить системы интегральных уравнений:
и (х ) = f ( x ) + |
j* sin (х — t)v (t) dt, |
0 |
|
1) |
x |
|
|
v (x) = g (x) — ( sh (x — t) u(t) dt. |
|
о |
|
|
x |
u ( x ) = f ( x ) + a |
\ е~ а{х~ 1) v (t) dt, |
о
2)
X
v (x) = g (x) — 2a ^ ea^x~ ^ и (t) dt.
45
" ( x ) = f { x ) + \ v (0 |
|
|
|
||||
3) |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (x) = |
g |
(x) + |
^ cos (x — t) и (t ) dt, |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
и (x) = |
/ |
(x) -i- |
1 |
|
■* |
- |
|
— — (* sin |
1 (x — t) v (t) d t , |
||||||
4) |
|
|
V 2 |
0J |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o ( x ) = g |
(x) - |
\ ( x - t ) u (t) dt. |
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
111. Решить сингулярные |
интегральные |
уравнения, с ядром |
|||||
К (x, t) |
sin 2 V |
xt |
, |
считая |
| X| ^ |
1. |
|
|
—----- |
||||||
|
|
] / nt |
|
|
|
|
|
|
|
, |
sin 2 У х / |
u(t) dt |
. |
||
1) a (x) ~ x m -f ). \ |
--------— ----- |
( — 1 < m < |
|||||
|
|
|
|
]/ |
nt |
|
|
,sin 2 У x t
2) |
a (x) = |
eax + |
l |
\ ----------------- |
и (0 dt\ |
|
|
|
|
0 |
V nt |
|
|
3) |
и (x) = |
sin bx |
+ |
\ ^ |
sin У xt |
и (t) dt\ |
fzz------ |
||||||
|
|
|
|
|
")/ nt |
|
4) |
к (x) = |
cos bx |
+ |
X^ |
sin 2 У xt |
11 У) d t\ |
z z ----- |
||||||
|
|
|
|
o' |
V nt |
|
46
