Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

а» 2

 

1

(а ^ 0 );

п2 + а2

и2 + а2

 

 

п = 1

 

 

 

 

6)

(— 1)” cos ях

(— 1)д

(a

i= 0).

я 2 + а2

я 2 + а2

п=1

 

 

 

п = 1

 

 

126.Разложить в ряд Фурье следующие функции:

1)

Периодическую функцию

f(x) периода 2<в=1, которая па

 

[0, 1] совпадает с функцией g(x) =дг3;

 

х 2

<'<т)-

2)

/(■*) =

1

 

 

(1 — -x)2

< л: < 1

 

 

3)

f ( x ) = e2mx (0 <

 

 

4)/( x ) arcsin (sin jc);

5)/(•*) arcctg (ctg x).

127. Пусть Ф

{ р

^(Jf)

=

2

akLnkf m W

 

 

 

 

 

^

■nk \-m

 

 

 

/(■*) =

Г (я£ +

1)

Показать, что

 

 

 

ft= 0

 

 

 

 

 

 

 

^

(x)

= e* J

/,) (2

xt ) l - t f (t) dt

и

 

 

o

 

 

 

 

 

$(/>) = ■

P — 1

V P — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

61

 

128.

Пусть

Ф (р)±*

Р (х ) =

—

 

(±

 

Hzk(V х )

 

1);а ь ------------------------ И

 

 

 

 

 

 

 

\

х

*=о

 

 

й

(26)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<Р(р) - > f ( x ) =

—7ZT

5

(+

k

 

(4*)*

 

 

 

1) a-k---------

 

 

 

 

 

 

 

 

V x

 

^k=0

 

 

(2k)l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показать,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) = e* j

X

\

4

 

 

(2 1 / x/) e-</(<) rff

и

 

 

j

' J^_L

 

 

 

ф (p) =

----- - 1-

 

;

- ? {— -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V p -

 

 

 

p —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129 .

Пусть

Ф (p)'-r> F (x) = ^

 

(+

1)*а*Я2Д, , , ( V x

)

и

 

 

 

 

 

 

/г=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

(4x)*

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

T ( P ) r > / W

=

2 V ^

(T 1)ka"

(2f t+

1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

k=o

 

 

 

 

 

 

Показать,

что

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

во

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (x) = ex ^

 

 

4 JL

 

(2 / 1 7 )

e - ‘/ ( 0

dt и

 

 

 

 

o"

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* ( P ) -

------ Ц

 

- т ( ^ Г

Г

г )

-

 

 

 

 

 

 

 

(Р - D

 

2

 

 

 

 

 

 

62

130. Пользуясь результатами, полученными в примерах 127—129, найти суммы рядов:

»

2

£ *(*)

(0 <

а Ф 1);

 

 

 

 

 

k=0

 

 

 

3)

Л (— 1 )k n \ L k (x)

 

2

k \ (n — k)\

 

 

k-o

 

 

 

 

 

»

л

HikA-x)

 

 

2

(2k)\

 

 

£=0

2) ^

L k ( х )

k\

4)

ft=0

лtf2*+ i(*)

») 2 (2ft+ 1)! ’

**=0

00

 

7)

 

( -

(x)

*> 2

( - l ) * # 2ft+i(*)

 

 

 

(2*)!

(2ft + 1)!

 

 

k=0

 

*-o

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

131.

Разложить в ряд no полиномам L k (x):

 

■

1) F (x) = x m (m — целое,

положительное);

2)F (x ) = e2X.

132.Доказать, пользуясь первой теоремой разложения:

1

1)^ h k (*) ~ — [1 — -А) (*)];

к=1

2) У ( - 1)*+1/ 2* (*) = у [Л (■*) - cos х];

1РГ

-t2

з)

2

63

4)2 (“ 1)*т1(2Й)2У2я(х) = Т ' * 8ШХ: k= \

5)2 (— 1 )kjM и (x ) = " у sin x >

 

k=0

 

 

 

 

6)

2

(2,fe+

l ) / 2f t u W

= y

;

 

A-0

 

 

 

 

 

•o

 

 

 

 

7)

^

(2ft +

1)3 Л* h i (Jt) =

— (x + x»);

 

k=0

 

 

 

 

 

oo

 

 

 

 

8)

 

2ft (2ft + l) ( 2ft +

2)y afc+1 ( j:) =

 

k - i

 

 

 

 

р а з д е л ш е с т о й

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Вэтом разделе используются следующие обозначения:

1.Символами f М и ср(р) соответственно, будем обозначать с пенчатые функции и их изображения, полученные при дискретном преобразовании Лапласа. Таким обоаапм

 

<Г(р) = 2 е~рх f W-

 

х=0

2.

Обобщенную степенную функцию будем обозначать символом

х(п) :

 

 

х ^ = х (х — 1) (х — 2) ... (х — п + 1).

3. Линейное конечно-разностное уравнение

У [ * +

я] + аху [х + п — 1] + а3у [х + п — 2] + . .. + апу [х] = f [ x \ ,

3-1931

65

будем записывать так:

У х+ п + а \ У х \ п —1 + аъУх + п - 2 + • ■• + а пУх = / М -

Все задачи этого раздела решаются с помощью операционных соответствий, связанных с дискретным преобразованием Лапласа.

СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ

133. Найти изображения функций, используя в некоторых случаях формулу суммирования по частям

ь

, ,

ь

2 . « [х] Ли М = и М V\х] |

2 v Iх + ! 1 М-

х = а

а

х = п

! ) / W

= 1;

 

2) / И = лг;

3)/[* ] = *»;

4)/[* ] = .«*;

5) /[х ] =

х^

= х (х — 1)(х — 2) ... (х — п + П:

6) f [ x \ = х - х (п);

7) / [ х ] =

е“

;

8)/ [ * ] = « * ;

9)/[ х ] = sin <jx;

10)

/[ х ]

=

cos #х;

11)

/[ х ]

=

sh qx\

32)

/[ х ]

=

ch qx.

134.Используя теорему смещения, найти изображения функций;

1)/ { х \ = х (п)-ах;

2)/[ х ] — a^-sin qx\

3) f [ x ] = e X ‘ COS (?X.

66

135. Найти изображения функций, используя теоремы запаздывания, упреждения и дифференцирования изображения:

1)

/[ * ] =

л:■sin ^лг;

2)

/[■*] =

*-cos qx\

3)

/[■*] =

(х + 1)■ sin qx\

4) f [ x ] — x-sin q (x + 1);

5)f \ x ] = ( x — l)-sin qx\

6)f [ x ] = x-sin q ( x — 1);

7)

/[* ]= ■

sin q x — x-sin q-cosq ( x -f 1)

2sin3 q

 

 

8) / W = '

cos q- sin q x — x-sin q cos qx

2sin3q

 

 

9)

f [ x } = -

sin q x — x-sin q-cos q ( x — 1)

2sin3 q

 

 

136.Найти оригиналы, используя теорему обращения:

1)

еР

 

2)

 

еР + 1

 

езР-

 

 

 

3)

 

 

4)

еР

(еР — 3)

(еР - ■4)

( e P - d f ( e P ~ b ) '

 

 

5)

еР

 

6)

еР

езр + 1

'

е4Р — 16

 

 

137.Найти оригиналы, не прибегая к теореме обращения:

еР

 

2)

еР

i) — -ZT—

1

езр + й 2

ФР +

 

aep +

b

4)

езр

3)

 

eip — 2аеР + 2а3

~0Р + 1 ’

 

з*

67

Смотрите также файлы