Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

145. Разложить в ряд Маклорена следующие дроби:

1)

t

+ 2

 

 

2)

 

1 — 21

 

*а +

* +

1

’

1

—

3* + 3*2

’

 

 

3)

 

1 +

3*

 

4)

 

 

P

 

1 + 2 1 + 2Р ’

P — 2P + 2 t — l ’

 

 

5)

 

t sin

а

6)

 

P — t COS a

 

t2 — 21 COS a + 1

P —

2/ COS a +

1

 

 

ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ

146. Числа 1, 3, 8, 16... составляют арифметическую прогрессию вто­ рого порядка; это значит, что разности второго порядка постоянны. Найти 101-й член прогрессии.

Рис. 30

Рис. 31

147.На неразрезную балку с бесконечным числом равностоящих опор, на расстоянии а слева от первой опоры действует вертикальная сосредоточенная нагрузка Р (см. рис. 30). Определить опорные мо­ менты, если между опорами нет никакой нагрузки.

148.Определить опорные моменты неразрезной балки с п равными пролетами I и треугольным распределением нагрузки (см. рис. 31).

149.На упругой невесомой горизонтально натянутой нити прикрепле­

ны п равных масс т, расположенных на равных расстояниях I друг ст друга и от концов нити. Первая из этих масс оттягивается на рас­ стояние а в вертикальном направлении, при неподвижном положении

остальных масс, после чего все массы одновременно высвобожда­ ются.

72

Найти поперечные колебания нити, предполагая, что ее натяжение Т остается неизменным при деформации.

150.Расположенные по прямой л +1 материальные точки одинаковых масс пг, соединены одинаковыми упругими пружинами. К крайней массе приложена постоянная сила Р0, действующая вдоль пружин. Определить натяжение пружин в каждом звене.

151.При нулевых начальных условиях в схему, состоящую из п

четырехполюсников (см. рис. 32) в момент времени ^=0 подключена постоянная э. д. с. Е0, при коротком замыкании в конце схемы. Найти переходные токи.

 

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

 

Раздел

первый

 

I. 1)

Р

3)

 

2)

р 2_ 1

Р ~ 1

Р3 + 1

 

4)Р е ш е н и е . <р (р) = J е~рхх а dx. Полагая р х = у и ис­

пользуя гамма-функцию: Г (а) =

j” е~-vy a~ 1dy, получим у (р)

Т (а +

1)

п!

-------

. При целом а =

п <?(р) ~

F,п1 1

 

n't t 1

ГГ (п 4- 1)

5) Р е ш е п и е . \ е~рхх п d x =

------------- Дифференцируя

)

р п ' 1

73

обе части этого равенства по параметру п я полагая в ре­ зультате я = 0 , получим

 

 

 

 

 

 

 

Г'

(1) — In р

 

 

 

 

е~Рх In х d x =

 

 

 

 

 

Как

известно, — Г'

(1) =

С;

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

1пх

 

— — Inрес,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

где С — постоянная

Эйлера.

 

 

 

 

2.

1) Р е ш е н и е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x<-^ <р (р);

(sin х

) ' р<р(р);

 

 

 

 

 

(sin х)" ~ — sin х < 4 р 2<р(р) — i .

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥ (Р) = —Р2¥ (р) +

I ,

откуда

<р ( р ):

Р2 +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

р2 — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

1)

1

2)

 

1

3) р 2 — а2

4)

р — a

Р + a

 

 

р2 — а?

 

5 )

a

6)

 

Р

 

 

 

 

 

 

р2 + а2

р2 + я2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

1)

Р е ш е н и е .

 

 

 

 

е1х

е—IX \ 4

 

1

 

sln4( x ) = ( -------—------- 1

= -------- (cos4x -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

■4cos 2х -f- 3)

 

 

 

Р

 

 

4Р

J5_

 

 

8 \ р 2 + 16

р 2 + 4 + р *’

 

 

 

 

2)

Р

 

 

+

 

6р

l

15р

10

 

32 V Р2 + 36

 

р 2 + 16 1 р 2 + 4 ^ р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74

 

 

 

 

1)

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

ар2

 

;

(p — я )2 + 62 ’

 

P

+ 4я< ’

3) ----------------

 

 

 

 

p i + 4я4

 

4)

 

 

a?p

 

 

5)

1

Г

5

-

 

1

 

 

 

p i +

4я4

 

2

,(p + 4)2 + 25

+ (р + 4)з +

1 _ ’

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

 

Использовать

равенство

sin Зх •

cos 2х

=

1

 

 

 

-f sin х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= — (sin 5х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6) - Г

—

 

—р

—

+

—

 

 

 

Р +

1

 

 

 

 

i p + 1

(р +

1)2 +

25

 

 

4

 

L ( Р - I)2 + 25

( р -

 

 

Р +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(р +

I)2 +

1

. '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!)

 

 

p 2 — 62

 

2)

2b (3p 2 — 62)

 

 

 

 

 

 

(p2 +

62)2

’

 

(p2 + A2)3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

2я2 (Зр4 — 4я4)

4)

p 2(pi — 12я4)

 

 

 

 

 

 

(p4 +

4я4)2

 

 

(p* + 4я4)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

 

(p +

1) e_0/’

 

2)

 

e-ap

 

3)

ре~

Т Р

 

 

(p +

1)2 + 1

’

(p -

я)2 +

Г

р 2 +

я2

 

4)

 

 

Р е ш е н и е .

<?(р) =е - Р х / ( х ) dx.

Пусть

х = at — Ь.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

P- aptf (at _j_ щ dt =

—

e~bp <f (p).

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b_

a

Добавим J e—aPff ( a t — b) dt —О и заменим p на q.

о

75

 

 

 

бб

 

 

 

 

 

 

Получим:

^ е~ aQlf {at — b) dt =

—

e~ bq ? (q).

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

Обозначим

q ~ ~

и заменим /

на x:

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

^ e~Pxf

 

1

a p

j p

x >

{ax — b) d x = — e

 

9

 

8 . 1)

 

 

 

sin X

dp

 

 

arctg p — arctg

P e ш e н и e: -------- ■*-

J P2 +

1

 

 

 

 

 

'

 

P

 

 

 

 

1

p

 

+ a?

 

p + \ — a

2)

arctg

 

 

 

 

p + a

3) —

I n —----------;

4) In

 

 

 

’ 2

pi + b*

 

P + 1

5)

1

In

p 3 +

100

1

,

(p + aY + 4i 2

—

p 2 +

.

6) — I n ---------------------

 

 

 

16

4

 

 

(p + ay

1)

Р е ш е н и е ,

ch j t - c o s

x

 

P3

 

(см. пример 5 .2 )..

p i +

4

 

 

 

 

 

 

 

Прямым

делением

можно получить

 

 

 

р3

 

1

4

16

64

+

 

 

22*

р 4 + 4

 

 

р 5

р 9

Р1-

 

 

п4^ Г1

 

 

 

 

 

Поэтому, переходя к оригиналам, получим

 

к=о

 

 

 

 

 

ch х •cos х

 

 

23

 

 

 

 

 

 

 

( « ) /

 

 

 

 

А-0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

( - - 1 ) * 2 2* 1 1Л-4 * -12

 

 

 

 

 

2)

 

 

(4Л + 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

76

 

 

 

 

 

6с

(— \)к х *

 

 

 

 

3) Р е ш е н и е ,

cos х -

 

 

 

; 21/

ах =

 

(2ft)/

 

 

 

 

 

 

 

4=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( - 1)«22*а*х*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4=0

(2ft)/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COS 2 1/к ахс

 

 

 

 

( _

1)*22*а*х 2

 

 

 

 

V . ил

 

у ~

2

 

 

(2ft)/

 

 

 

 

 

 

•

31

4-0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со

( _ i)423*a * rf*

+ —

 

 

 

 

 

lA t

 

4—0

 

 

 

£+ ~7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

(2ft)//»

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

v

,(— 1);7

а

 

 

 

 

 

 

 

V P

 

 

*'

V' 1

V p

 

 

 

4)

>Vp

 

 

 

5)

 

 

 

6)

pVp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Й

k -f*——

j./2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

7) Р е ш е н и е , x 2 Jn (2 Y a x )

■- ^

Л (— l)ft«

 

 

 

ft/Г (ft +

n +

1)

 

 

 

 

 

 

 

4=0

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

oo

& + — -

 

—

CO

 

 

 

 

——

 

 

 

 

~2

 

S

(— 1)*д

2

^

g 2

^

(— l)*g*

 

 

 

 

 

k!pkfe/„4 +n rlf i

 

Pp«nrrl

k!pkM n 4

 

 

 

 

 

*=0

 

 

 

*=0

 

 

 

 

 

 

8>

7 JTT -*

•

9)

p е ш е н и с .

Рассмотрим изображение

77

Смотрите также файлы