Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 4
А = |
р 2 + |
1 |
|
|
|
|
_(Р + О (Р + 2)(Р + 3). Д=0 |
"б” 5 |
|
||||
|
|
|||||
А = |
Р2 + 1 |
|
|
|
|
|
р ( р + 2)(р + 3) |
p = -i |
|
|
|||
|
|
|
||||
А = |
р2 + |
1_____ |
|
|
|
|
Р ( Р + А ) ( Р + 3) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
А = |
Р2 + |
1 |
|
|
|
|
. Р (Р + 1) (Р + |
2) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Р2 + 1 |
— |
— g — х _ j_ — |
е—чх— — |
е~гх. |
||
Р (Р + 1) (Р + 2) (р + 3) |
6 |
|
2 |
3 |
|
|
2) Р е ш е н и е . Знаменатель |
изображения |
искомой |
функции |
|||
имеет один 'двухкратный нуль |
pi = 0 |
и два |
простых нуля ра = 1. |
|||
Рз= — 2. Согласно второй теореме разложения |
|
|||||
|
|
|
|
а -1 |
|
|
V —1 * = 1
где p v — нули знаменателя, т.ч — степень кратности их и
|
1 |
dp m^ k ' (JP — ^v)mVCP (р) |
|
|
V * |
(т^- k ) ! |
Р=Рч |
||
В данном примере m i=2, /я2=1, « з= 1 . Поэтому |
|
|||
/ ( * ) |
= |
+ А з-*^1* + Ап ер-Х + |
. |
|
|
|
d |
_3_ |
|
|
dp ' Р3<Р(/>) ,р=о |
4 ’ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
А з-= |
[P3tP (p )]„ = ,o = - |
П Г ; |
|
83
|
A i = |
|
l(p — l) ? (p)]p^i = |
2 |
|
||
|
|
- j - ; |
|
||||
|
A si = Up + 2)? (p)]p_ —2 = |
1 |
|
||||
|
12 |
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
p |
+ 1 |
• |
3 |
1 |
|
2 |
_1_ |
-------------------------- |
—> — — |
— — |
x -f- ~— ■ex 4- |
e~lx . |
|||
P2 (P ~ |
1) (P + 2) |
|
4 |
2 |
|
3 |
12 |
1
3)— (x2e2X— 4xe2'r + Ge2X — 2 x ^ — 6e*).
1
4)—- (2x2e~ x — 2xe—Л -f e~ x — e~sx) .
8
14.1) Р е ш е н и е . Пользуемся теоремой об изображении произве дения х/ (х) и изображением sin х:
1 |
|
х sin X |
|
2р |
|
sinx |
|
Р2 + 1 |
(Р2 + I)2 ' |
||
Р2 + 1 |
|
|
{ |
||
Следовательно, |
|
3 |
|
|
|
|
____3Р |
X sin X. |
|
||
|
Ср2 |
+ |
-» — |
|
|
|
I)2 |
|
|
||
2) х сh ах. |
3 |
) -------х sh ах. |
|
|
|
|
|
|
2а |
|
|
4)Р е ш е н и е .
Ар + В |
_ |
Ар + В |
р + а |
р2 -р 2ар -j- Ь |
|
(р 4- а)2 -р b ■— a2 |
(р -f- а)2 -р b — а2 |
+ ( 5 Па)
(р + а )2 -р b — а2
Возможны три случая:
а) b — а2 > 0:
84
/ (х) = |
В —Ай |
g—ax sin х~У b — а2; |
А е ~ ' cos х У i — я2 + ■ |
||
|
V b — а2 |
|
б) |
b — а2 < 0: |
|
|
В — Ля |
- е~ах sh х У а 2 — Ь\ |
/ (х) = А е~ ах ch х \ f а? — b -f |
||
|
У д 2 — Ь |
|
б) ь — а? = 0: |
|
|
/( х ) = Л е -Й* + (В — Ля) хе ~ах.
15.1 )2 — Ъех + 7е2Ж;
2) х + 2 + 2xe-v — 2е*; 1
3)— (2ех — 2е~х cos 2х + Ъе~х sin 2х);
4)sin 2 х — •— sin Зх;
3
5)■— е~гх (2sin х — sin 2х);
6) |
|
х У 3 |
л г - |
х У 3 \ |
У |
Уз |
|
|
cos —*— |
+ У 3 s in — — 1 |
■'* |
|
|||
|
■Уз sin — Уз |
|
|
|
|
|
|
|
— |
х |
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Использовать равенство |
|
|
||||
|
Pi + Р2 + 1 = |
(В2 + Р + |
1) (В2 — Р + |
!)• |
|
||
|
|
|
|
X |
|
|
|
16. 1) |
Р е ш е н и е , f ( x ) |
= |
J ех~*е^ dt е2Х — ех \ |
|
|||
2) |
-2ЛГ. -хе—2-V- |
|
|
|
|
||
85
3)— (cos x — co s2x);
4)— (3sin 3x — ‘2sln 2x); 5
5) Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть f (p)i~> f ( x ) . |
|||
|
|
|
+1 <r- |
? (p)- |
0 0 |
0 |
|
r>n+1 |
|
|
|
|
||
С другой стороны, |
по теореме умножения |
|
||
|
|
|
ЛГ |
|
ПП-\-1 |
|
( x — t)n f |
(t) dt. |
|
|
|
|
||
Сопоставляя (1) и (2), |
получим формулу Коши; |
|||
6) Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По теореме умножения |
|||
|
|
|
. Г (а) Г (4) |
|
ta- г (x — t ) ° - W * |
|
|||
|
|
|
„а + Ь |
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
Г (а) Г (Ь) . |
Г ( д ) Г ( 6) x a + b- 1 |
||
|
р ах» |
’ |
Г (а + 6) |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
^ ta~ 1(х — |
|
Г (а) Г (Ь) х а + ь- 1 |
||
dt — |
А) |
|||
|
|
|
Г (а + |
|
При х= \ получим искомый результат, так как
1
\ t a- - 4 \ ~ t ) b- l dt = B (a , b).
Тогда
( 1)
(2)
86
17. 1) Р е ш е н и е . |
Изображение произведения |
равно |
сумме выче |
||||||||
тов |
функции ф (р — <?)ф(7) |
относительно |
особых точек |
функции |
|||||||
ф (9) |
(см. [2], стр. 156). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пусть f{x) =х, |
g(x) = е ах. Тогда |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
р* |
g |
|
(Р) = — |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
р ■— и |
|
||
|
т (р |
Я) Ф (я) = |
(Р — Я)2 (Я |
а) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Нужно |
найти |
вычет этой функции относительно q=a. Этот |
||||||||
вычет равен |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
----------— . Следовательно, |
|
|
|
|
|||||||
|
|
{р — а)2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
хеах _ _j_------------- . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(Р — в)2 |
|
|
|
|
|
2) |
3р3 — 54р |
|
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
СР2 + |
|3 |
>' |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9): |
|
|
I |
(Р - 'О- |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) |
(p+l)Vpa-2p+2-(p-l)Vp*+2p+2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
2 V V + 4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) Р е ш е н и е . |
Полагаем |
f ( x ) = I 0(x), |
g(x) =sin %. Тогда иско |
||||||||
мое |
изображение |
будет |
равно |
сумме |
вычетов |
функции |
|||||
|
1 |
|
1 |
|
относительно |
особых |
точек q= i и |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
У ( Р - Я У > + 1 |
|
9 2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
q= —i. Эти вычеты соответственно равны |
|
|
|
|
|||||||
|
211/~р ] / р — 2i |
2t ' V p ' V p Л- 2/ |
|
|
|||||||
Складывая их и избавляясь от иррациональности в знамена- |
|||||||||||
теле, после упрощения получим . | / 4 |
V |
+ |
4 —р |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2р (Р2 + 4) |
|
|
||
87
