Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1

• и разложим его

 

 

i

9(Р)= —

в ряд по степеням -—-

v W

1

 

 

1

р

 

 

 

 

 

<р(р):

р

\

р2

 

 

У Р3 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-3-5

 

р

2р 3

2/22р5

 

3/23уР

 

Ряд сходится при любом р. Поэтому по первой теореме разложе­ ния начальная функция будет иметь вид:

/( * ) = 1

-У2

• 3 • х*

1 -3-5-хв

+ --

2/2

+ ' 2/4/22

3/6/2®

 

 

- К X \т2й )

 

 

 

/г-0

(А-')2

 

 

 

 

 

Но этот ряд представляет собою функцию Бесселя первого рода нулевого порядка. Следовательно,

 

1

 

 

/ 0(лг)

 

 

V р 2 +

1

10)

 

 

У р 2 +

я2

 

10. Р е ш е н и е .

Положим в (1) л=0:

 

х / 0(х) = — x j t (х); х ф 0; Jx (х) = — / й (х);

/ о (0) = 1;

У0(х) =

р - У р 3 + 1

 

 

У р 3 + 1

V р 2 + 1

Следовательно, Jx (х)

• V Р2 + 1 — р

 

 

У р ч П

 

78

 

Положим в (2)

п ~

1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У2 (х) = У0 (х) — 2/j

( х ) .

 

 

Так как /1 (0) =0:

 

 

 

 

 

 

 

У2 (х)

 

 

1

 

 

■2/>

V Ра + 1 —р

(V р 3 + 1 — р )2

 

У > + 1

 

y > + i

 

У > + 1

 

 

 

 

 

 

 

Используя метод полной математической индукции, получим

 

 

 

 

 

 

 

•

(V V

+ 1 — р)п

 

 

 

 

 

 

 

•М*)

 

V р 2 +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

1)

In

 

 

2Р

 

 

2)

(У п 2 + 1 — р)п

У к а з а н и е .

 

 

 

 

 

■----- LJ— .

 

 

 

Р +

V р 3 +

1

 

 

 

 

 

 

 

При

интегрировании по р

положить

~\fр 3 + 1 — p = t.

 

 

 

а

 

 

 

 

 

а

 

ch —

sh —

 

 

ch —

 

 

 

sh —

 

 

3)

 

Р

 

 

4)

 

 

 

5) — J L

6) — P-

 

 

p V p

 

 

 

>Vp

 

 

V p

V p

 

У к а з а н и е .

При

решении примеров

11 (п. 3 — 6) обратить

 

внимание па примеры 9( п.

3 — 6).

 

 

 

12.

1)

Р е ш е н и е .

Пусть

( р - \ ) ( р - 2 ) г > / ( А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

a+i°°

 

 

еРх

 

 

 

Тогда

f ( x )

=

 

г

 

 

 

dp,

 

2л i

)

(/'

 

!)(/'

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a—ioо

 

 

 

 

 

где

а >

s0 >

0

и

f

(х) |

<

AeSaX, т. е. интеграл

берется вдоль

прямой

L:

 

 

 

 

Rс р =

а,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79

расположенной правее всех особых точек функции

ер х

?(Р ) =

( р - Щ р - 2 )

ср(р) имеет только два простых полюса в точках р = 1, р —2 и удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Следовательно,

 

1

a-hi з.

epxdp

 

ep x

/( * )

 

Rc s •

2л/

J

(p — l)(p — 2)

4"

 

p=2 (p — l)(p — 2)

 

 

(2—io®

 

 

 

 

+

Re s

ep x

 

 

 

---------------------- = e*x

■ел .

 

 

p -1 (P — 1) (P — 2)

 

 

2)

л- — 3 -(- 3e-'r + 2xe~x + у

a'=<?-1'.

 

3)

1 — cos л-.

4) у (cos x — cos 2a-).

5)Р е ш е н и е . Пусть —-— —> /( x ) . Тогда

 

Pa

a+tx

 

 

1

epx dp.

f X

r

{ ):

2ni

j

p a

 

a~ i oo

1

Функция ——многозначная и начало координат является точкой

р а

разветвления.

Проведем на плоскости р разрез вдоль отрицательной части ве­ щественной оси. Рассмотрим замкнутый контур Г, изображенный

на рис. 33. Внутри контура Г

функция — Т аналитическая н

 

ра

С

ерх

однозначная. По теореме Коши ф

-------dp — О,

80

следовательно,

 

 

 

а+ы

epxdp

ePxdp

С epxdp

epxdp

г

)

ра ~~

+

+

+

а—Ы

 

 

 

 

 

Г

ePxd x

(* ePxdp

 

 

+

 

 

 

m [ ePxdp = 0 ,

lim

epxdp

=

0 , lim f epxdp =

pu

r -»*, J

p

 

p a

По нижнему берегу разреза p=se

^

, d p = — d s n

 

epxdp

P

e~sxds

 

 

.! «Л„- l•

По верхнему берегу разреза p = s e ‘

dp= — ds и

 

epxdp

 

R

 

 

 

P e—sxds

81

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

С ePXdP

,

С еРХ(1Р

=

8]ПЯД

Сg-sxg-a ds

2лг

)

p a

^

)

pa

 

П

 

)

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

Cl+lo

 

 

 

 

 

 

o^-ib

 

 

 

 

 

 

 

epxdp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

f‘

epxdp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ni

«)

p u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б-»»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a~ib

 

 

 

 

 

 

 

 

sin ла ^ e—sxs—a dS'

 

 

 

Полагая

в

интеграле

s =

—

, получим

 

 

 

f ( x )

^ ^

±

-

x a-x

 

[

e~ H - adt =

— — — - я ^ Г

(1 -

a).

Так

как

 

 

 

 

 

 

я

 

то f ( x )

х 0- 1

 

Г (a) Г (1 — a) - — -------- ,

=

—

 

 

 

 

 

 

 

 

sin яй

 

 

1 (a)

 

6)

 

V :я я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. 1) Р е ш е н и е .

Знаменатель

изображения

искомой

функции

имеет четыре простых нуля:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi =

0, р2 =

—1,

/>з =

2,

Р4 = — 3.

 

 

Согласно второй теореме разложения

4

f ( x ) = % Лкеркх ,

*=1

где Ak = [(р —/>ft) if 0?)]^

и Р а— нули знаменателя.

82

Смотрите также файлы