Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

ch 2 V iар

И

Г

lAt/?

k=o

nk\ У x

я У~х

У к а з а н и е . Использовать формулу обращения.

2) 1-

( - 1)*

cos

2к + 1

я

Л . р т - < * +1>'*

к + \

к=0

3) Р е ш е н и е .

Обозначим

ch<?= 2.

ср(р)— правильная

ра­

циональная дробь

относительно

z и оригинал

можно искать

по

второй теореме разложения. Полином

sh щ

--------н е имеет кратных

корней и числа

sh q

9 =

Ы i

1, 2, ..

п — 1),

(ft=

п

которым соответствуют числа

,

Ы1

kn

г = сп

-------

; co s -------,

п

п

n

jSaJ

kn

ft=i

jP2 + 4 a 2 s i n 2

n

Следовательно,

2

kn

mkn

sh (n — m) q

n~l sin ----- sin--------

2a2

n

n

sh nq

П

*=i p 3 +

kn

4«3sin2 — -

kn

mkn

2 n

ft- 1 sin

-----sin

--------

/

kn

\

Я VH

n

n

— > , ---------------- :------------- sin

2a sin — —

x.

n

kn

\

2n

ft-l

sin — —

2n

4)

f

(p) =

ch (n — m)q

sh q sh nq

n—1

mkn

f i x ) =

Aa2n

jc + 2

cos

n

hn

X

k~\

s i n ------

2я

X sin

/

1

й г .

\

„

JC

\

—

s i n ------- \ x + (— \)m a sin —

a

2n

)

a

У к а з а н и е .

Значения коэффициента будут

1

Л* =

1

mkr.

( - l ) m

Л, =■

п

—

c o s -------- ,

A n =-----——

2

n

n

2n

( * = 1, 2 , . .. n — 1).

21. 1)

Р е ш е н и е .

Используя

формулу

^

dt

^

t ( P ) dP ’

0

P

полагая f( t) = sin /. Тогда будем иметь

.

1

(*

dp

1

1

si (x)<------- \

--------- - =

—

arctg —

'

p

J P2 + 1

P

P

p

2)

1

1

Действовать анало-

— In

_____ —. У к а з а н и е .

P

V p2 + 1

гично решению предыдущей задачи, используя формулу

с

f ( t )

-.

i1 f

4 ( P ) dP и полагая / ( 0 ==— cos t.

— -— dt<r:

—

^

22.

P e i

У 2ъх

— . По теореме смещения:

V 2 p

1

У 2 м

' У 2 ( р — 1)

У 2 м

' У 2 {p + i)

Следовательно,

COS X

.

1

1

+

1

<Г-

У2т.х ' 2 [ У 2 ( р ~ 0

У 2 ( р + 1)

1

У р 4- i + V р — I

2 У 2

У р 2 + 1

Интегрированию оригинала от 0 до х соответствует деление

Яа р его изображения. Поэтому,

Л

■

V р +

i + у р — i

cos t

1

d t = с (л:) <7

2 У 2 - р У р * + 1

S У ы

аналогично:

sin*

^

о,

У р + 1 — У р — 1

------dt — S

(.v) <—

о У 2nt

2 У 2 р г У р * + 1

23

и 24. У к а з а н и е .

Искать изображения правых

частей равенств.

23. Р е ш е н и е .

Полагая в данном интеграле а2= р ,

а

—

6 = — и * =

У х,

будем иметь

а?

\

е-Р* Л .!*— d x = J

о

У х

У р

Отсюда следует, что

- * У 7 ^

26. Р е ш е н и е .

У р

_

v ™

X

, i

2ех

Ух

ех

e - fdt

С

С

1) е* Erf У х

---—

\ е

dt = ——

\

— — -

У *

)

У *

i

V t

лучим

X

оХ—t

.

1

dt<r-

(р — 1) У Р

о

у Td

Следовательно,

У>ел Erf ( У х ).

{р — \ ) У р

2 Ух

2) Erf с

1 — — —

\ е

“2du.—— -— \

е

“z du

2 У л

у ;

}

У й

2

Ух

2

[ e~ u2du =

--------

[

e~u2d и -----

г

4х Л =

У 71

}

V *

\

y « . J

2 /.V