Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

^ COS (х sin f)

COS2”—

у г, Г (л)

J

]

{x).

1

n—- -

\ n- i r

2

л: \

2

Следовательно,

1

V r .

l

— )

2

J

j (a:).

(p2+

1)« •

( „ _ ) ) !

V 2

/

n - y

Используя теорему подобия, получим окончательно:

1

V 7

J

j

(ах)

(а > 0).

1

(р2 + я2)”

•

( и — 1)!

\

2а

а

«

35.

1)

Р е ш е н и е .

Разлагая

данную

дробь

на

простейшие, имеем

1

т

(р '+

Ak

-ЧГЧ

(р + a)m+1 (р -\-b)n+-1

S*=о

а)т~ к + 1

+

Bk

А=0

(р 4- Ь)п—к+1 ’

д

__

.-----------------

4

____

я + 1

(я + 1) (п + 2)

(6 — а)л+2 > • Ь

0

(Ь — а)я+1 ’

2\(Ь — а)п+3 ’

(— l)k (n +

k)\

Вь =

(— 1 )к (т + k)\

k

k\ п\ (b — а)и +* т 1

к \ т \ ( а — Ь)ттЬ+1

’

Следовательно,

- 1)* с

к

(

пУ-k

+

(р -j- л)т +1 (р +

Ь)п^ г

(Ь — а)п+*+1 (/? + a)m~ k ^ 1

k=o

+

(

- 1)* с £ + *

(а — b)m+k+1 ( / 7

+

b)n~ k+ 1 '

Переходя «права к оригиналам, получим

( -

l)‘ C‘ +ft

а- - *

(р +

a)m+I (р +

6)я 1

й=0

(А — д)« i-*+i

(т — й)! +

+ е—ЙДГ.

ti—k

(a —

(л — й)!

й-0

2)

Используя пример 28 и теорему подобия, имеем

п\

(p— b + a)s

x n^ s L fn s [ { b - a ) х ] - ^

5!

0^+1

Отсюда

5!

-bxx n - S Ln-S

(Р +

а)"

п\

'

14

'

J

'

(p + 6)n+1

3)

На основании предыдущего примера

J

g + fl>L

.^» A

L e - ^ x n- ^ L ns~ Si [(b - а ) х ] ,

(p + b)n+i

' и !

(р + g)*

$„!

„—Сх ..tn—Si г tn—S,.

[(С — « )* ].

(р + c)m+i

•

и!

е

л

По теореме умножения

(р +

в)"

5 i !52!

^

е- К * - / ) ( * _

^ - s l£

(p + i) n+ i(p + C)m + i '

и! т\

о

Сой

X [(6 - а )

- Ctj-tti— S z т m — Sz

[(С — а)Н] rfi,

( л - - 0 ] - е - " й

причем,

61! <

я ,

<

/я,

Sj +

S 2 =

S.

36.

У к а 3 а н и е. См. например,

[24].

которую обозначим

37.

1) Р е ш е н и е . Согласно графику функции,

/(*), имеем

0

(0 < х < 2а),

/( * )

1

(2а < х

< а +

Ь),

—1

(а + b < х < 2 Ь),

О

(26 < х).

Поэтому

а + Ь

2b

t—Px( x ) d x ~

^ e—Pxd x —

^

e~Px d x =

2а

а + Ь

b

b

2е~аР).

4) —

( l _ e-« P )+ — (1

ар2

/>

5)

1

1

(1 —

g — 2 Р Р ) _

— (1

+ е - 2 Я Р ) _ _ -------

Р

ар

1

1

(1 — 4е - аР + е-*аР).

6)

-------(1 — е - ^ Р ) +

—

apt

к

Р

7)

а / 1 — е~ар

е-Ьр — е~аР\

р 2 \

а

6 — а

) '

8)

ар"1

( 1 -- е-ар) ( 1 _ g - з ар) ( 1 _ е-юр)'

38.

1)

Р е ш е н и е .

Пусть / (х) -+• <р (р).

ь

<р

(Р) =

J e~P*f(x) dx

j" е~рх ( х- ~ a) d x +

a) d x =

О

а

= ( - ^ Г + — ) ( е - а р - е - » Р ) .

е~аР

\

Р2

Р

Использовать теорему запаздывания.

2 ) --------У к а з а н и е .

Р + b

2ъА<* (1 — е-Р™)

-j- 4т^2

4тс2Л (1 — е~рТ

р {р2Т * +

4^2)

39.

Р е ш е н и е .

Воспользуемся обозначениями

и операционными

Е

. — е

■ ('4 )

42.

р +

( \ - е - рТ)

43. 1)

1

яярр

Заданная функция опре

—

th ----------------- . У к а з а н и е .

ся

р2

2

формулами

|

х — 2«я

2ия < х < (2п + 1) я,

arccos (cos х)

| — х + (2п 4- 2) л

(2п +

1) я < х < (2п + 2) я.

I

(п = 0 , 1, 2 . . . . )

2)

—

-

яр

Р2

2р sh

3)

2 th яр

я/?2

4 )

(1 — 0 кр) (а + be гр) — яре тр(а + 2Ье т'р — Ь)

р Ц \

(.

5)

За V1

'2

яр2

(1

-2*Р\