Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 4
•Xj l’-
4x rt (t — a) dt,
О при t < a,
{Г при t > a.
Для нахождения изображения E r f c l- -----— которое обо-
\ 2 V x j
значим через Ф(р), воспользуемся теоремой Эфроса.
Сопоставляя интеграл, стоящий в правой части равенства с интегралом в теореме Эфроса:
J |
|
f ) d t* ± |
ф (/?)?[<? (/>)], |
|||
о |
|
|
|
|
|
|
где 9 (р) ф->/ (х) |
и ф (р) e~aq<'p'>7-» F(je, a), |
|
|
|||
заключаем, что в данном случае |
|
|
|
|
||
/ ( а ) — Tj |
(д — а) |
и Е ( д , |
а) = |
1 |
— — |
|
---- — |
е |
4х . |
||||
Следовательно, |
|
|
У * Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
? (Р) = |
е ~ ар |
, ф (/>)<? |
, |
, |
|
|
-------- |
а<г(р) = ---- — — , |
|||||
|
р |
|
|
|
У р |
|
|
Ф(Е): |
, ч (р ) ~ У р |
|
|
||
|
|
V . |
|
|
|
|
И Ф(р)=Ф(р)?[?(р)] = |
а- « У Р |
, |
т. е. |
|||
|
||||||
|
P-*VP |
■Erf С |
|
|
|
|
|
|
У х } |
|
|||
|
|
|
2 |
|
||
4—1931 |
97 |
( Р - \ ) п |
|
28. |
Г (я + |
а + 1) |
_ ( р — 1)"_ |
||||
27. |
|
|
|
|
я! |
пП -\а 1 |
|
||
р п ■1 |
|
|
|
|
|
|
|||
29. Р е ш е и и е. |
Пусть |
|
1 |
tkn (V X ). |
|||||
<р (р) ^ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
V x |
|
|
|
|
н |
(у -) _ V |
( - 1)\k t2")1 |
2, . ^ ' n—k— 4- |
|||||
у. |
Я 2г а ( | / * ) - ^ |
Л1 (2п — 2А)1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
й = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
(— 1)* (2л)! 22/г-2* Г (л — Л + — ) |
|||||
т (р) = |
2 ----------- |
га— А + - |
|
||||||
|
|
|
/г-0 |
|
Л! (2я — 2Р)! р |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(— 1)*(2я !)) Л е |
|
|
||
|
|
|
2 |
' |
|
|
га-й+т |
|
|
|
|
|
к |
0 |
А! (п — к)\р |
|
|
|
|
|
(2га)! |
|
(1 - р ) " |
/ |
1 |
\ (1 — я)" |
|||
|
|
я! |
|
|
|
= 22"Г я + |
— |
' ------ ~ |
|
|
|
|
|
«+т1 |
\ |
2 |
"+дг |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
2) у н г |
л |
|
3 \ |
(1- Р)п |
|
|
|
||
|
|
|
з |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п+Т
30.У к а з а н и е . Использовать решения примеров 28 и 29.
31.У к а з а н и е . Учесть примеры 27 и 28.
32. Д о к а з а т е л ь с т в о . |
<р„ |_2 |
(р) - > sin" h2 лг; |
|
|
РЧп+2 (Р) |
(sin" 12л:)' = (я + 2) sin" *>cos х; |
|||
P2(fn4 2 (Р) т~> {п + 2) (и + |
1) sin"x — (я + |
2)2 sin" ‘2 лг. |
||
Изображение правой части последнего операционного |
||||
ношения будет |
|
|
|
|
( Я + 2) ( Я + 1) <ря |
( р ) |
— ( Я |
+ 2)2 <р„ Ь2 (р) = |
р а <Р„ 4 2 ( р ) . |
98
33. |
|
Определяя отсюда фя+2 (/?), получим искомый результат. |
|||||||||||
1) Р е ш е н и е . |
Используя |
результаты |
предыдущего |
примера, |
|||||||||
|
можем записать: |
|
(2п - |
1) 2п |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ъ п(р) |
|
|
Р2 + |
(2л)2 ^ ¥2/1-5 (р); |
|
|
|
||||
|
|
¥5/1-2 (Р) = |
(2л — Щ 2п — 2) |
¥2я-4 (/>); |
|
|
|||||||
|
|
/?2 + |
(2п — 2)2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'f2(^ ) = |
> |
+ 22 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¥о (/>) = |
— |
• |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемножая между собой эти равенства, получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2л)! |
|
|
|
sin2” x. |
||
|
'Р2Л ( Р )~ |
р (р2 + 22) (р2 + |
42) ... |
[р2 + |
(2л)2] |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
2) |
Аналогично, |
|
|
(2л + 1)! |
|
|
|
|
|
|||
|
¥2Лм (р ) = |
|
|
|
|
|
I)2] —>sin2” т 1 X. |
||||||
|
(р2 + |
1)(р2 + |
32) ... [р2+(2 л + |
||||||||||
34. |
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
■cos х; |
|
|
|
|
^ cosXififA"!; |
|
||
|
|
Р2 + |
1 |
|
|
Р° + ! |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2р |
. |
X |
|
|
|
|
1 |
|
|
X |
|
|
|
(■ |
|
|
x p |
|
|
|
$* |
cos x 2 rfx2 |
||||
(Р2 + |
l )2 7» X |
\ COS Xj d |
, -------------- > |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Р2 4- О2 ’ |
|
$ |
||||
|
|
|
4p |
|
|
|
|
X |
Л \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7> — |
^ Xj Px, ^ cos x 2 rfx3; |
|
|
|||||
|
|
|
(p2 + |
|
l )3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4* |
99 |
|
1 |
-.> ■ 1 |
и. |
|
2 |
|
|
||
|
^ X [ |
^ X 2 rfX o ^ |
COS X 3d x 3 , |
||||||
|
(р2 + |
l)3 |
' |
2*’2! |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X |
X i |
X i |
|
X , |
|
(>'->+1)‘ |
|
|
- ^ x 1 dx± ^ x 2 d x 2 \ |
x 3 d x 3 \ |
cos X4 d x 4; |
||||
• 23-3! J |
0 |
0 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
X |
X i |
|
|
|
(p2 + 1)« |
|
■ 2” +» (« — !)!! |
^ Xl |
|
x„dxо ... |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
rt—2 |
|
«—i |
|
|
|
|
|
|
. . . |
^ |
|
|
^ c o s x nd x n. |
|
||
|
|
|
о |
|
|
o" j |
|
|
|
|
Xi |
X^_j |
|
|
X X |
^ |
|||
|
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
Xi |
rfx2... ^ |
|
cos x „ d x ;!= — -----cos tdt |
|
|||||
|
o' |
о |
|
|
|
|
о |
< |
|
|
|
|
|
1 |
- Д о ’ |
P ) n —l COS |
|
’ |
|
|
|
(n —• 1)! 2" |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
— ^ cos2' -^cp-cos (x sin cp) dtp |
||||
|
|
2n+i (n — 1)! |
|
|
|
|
|||
(замена переменных t= x sin ф). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
! x \n |
* |
|
|
|
Так |
как Jn {x) = |
— - 2—Ы-------— |
7\ cos(xsintp).cos2"tpdtp, |
||||||
|
|
|
|
1М |
”+т )° |
|
|
|
|
100
