Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Его решение:

 

 

 

 

 

_

 

Ар + 2А + В

Л ( Р + 1)

А + В

 

У(Р)

 

р* + 2р + 2

 

-ЛЛ------ ------------------------

 

 

(Р 4 - 1)2+ 1

(/> + 1)2 + J

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

у (х) =

Ле-"* cos х +

(А + В) е~х sin х.

4) у = Л е^ + (В ~ ЗА) хе*х .

 

 

5)

у =

1

(12е-з* + 8е3* — 5).

 

 

—

 

 

 

 

15

-

 

 

 

 

6)

у

27

(Зх — 6 +- 1еъх — е~зх) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

7) У — (Зе2Х + е~2Х— 4 х ).

 

 

 

У

4

 

 

 

 

 

8)

г/ =

2 sin 2х +

0,5х sin 2х.

 

 

9)

Р е ш е н и е .

Пусть

ср ( р) - )» / (х ).

 

Операторное уравнение будет

Р У { Р ) — / { 0) + « г /Ы — P<t { p ) ~ f { 0).

Решая это уравнение, получим

ч/>?(/>)

 

 

0

/>) =

—

I— •

 

 

 

 

 

р + а

Пользуясь интегралом Дюамеля, находим у(х):

 

 

 

 

х

 

 

 

y

(x) =

j L

[ e

-

“‘f ( x - t ) dt.

 

 

 

d x

,j

 

 

 

 

X

 

о

 

 

 

d

 

 

 

 

10) и (x) =

Г

 

 

 

 

-----

\ / ( x — t) cos d t d t .

"

d x

,)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

111

50. 1) Р е ш е н и е . Операторное уравнение будет:

( Р2 + Щ { р ) = -7 - +

Р1

Pi

—6

Его решение: у ( р ) ~ — . Следовательно, у ( х ) = х 3.

Р1

2)у = — (2 sin ^ — sin 2х ) . 0

3)

у

1

(Зх sin х + 4 sin .V — 2 sin 2 х) .

-- —

 

 

0

 

 

4)

у

1

(sin х — 5 cos х

+ е~х + 4).

~ —

5)

у — хе2Х— 0,5 sh 2х .

 

6)

Р е ш е н и е : Пусть

f ( x ) < е - /( р ). Тогда опе|)аториое

уравнение

будет:

 

 

(/>“’ +

+ 5) j/(p) =/(/>)•

Его решение:

 

у {Р) =

( Р + l ) ( P +

5 / iP) = Т i p + 1 ~ 7

Используя теорему умножения, получим:

х

I/O) = 4 " 5 (е~ ‘ — е~ь‘) f (х —

о

X

7) у = - ^ - ^ / ( л - — ^)sin3^rfC

о

112

 

 

 

Л

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8)

у ~

^ f ( x

— t)

sin 21 dt.

 

 

 

 

 

 

 

9)

У =

\ te-*‘f { x - t )

dt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

у =

eiX + 4 cos x — 2 s i n x — 5.

 

 

 

 

 

 

 

51.

1)

Р е ш е н и е .

Операторное уравнение запишется так:

 

 

 

 

Р*У ( Р)

Р2У (0) — ру' (0) — у" (0) — 3ру ( р)

+

 

 

 

 

 

_

 

 

8

+

4

 

 

10

 

 

 

 

+ Зг/ (0) + 2у ( р)

(Р 4- I)3

 

 

Р +

1

 

 

 

 

 

 

( Р + 1)2

 

 

 

Его решение будет:

 

 

 

 

 

 

 

 

-

_

Р2У (0) + ри

(0) + у" (0) - Зу (Q)

 

2 — 16/> — Юр2

 

УКР>

 

( р - \ у ( р + ‘2)

+ ( р - \ ) Ц р

+

2 ) ( р + \ ) 1 -

 

Второе слагаемое правой части разложим на простейшие дроби:

 

2 — 16/> — Юр3

 

1

1

 

 

 

+

 

 

+

( р - \ ) Ц р

+ 2) ( р +

1Р

3

/ 7 - 1

(

р -

1)2

3

р +

'

2

 

 

 

+

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( р - М )2

Р +

1

 

 

 

 

 

 

 

( р +- I)3

 

 

 

 

 

 

Тогда, включая соответствующие слагаемые в произвольные

 

постоянные, получим:

с2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£\

 

С3

 

 

 

+

 

 

 

.И /4

 

 

+

----- гЧг +

(р +

 

 

 

 

 

р ~ 1

(р — И3

р +

2

I)3 .

 

 

 

Следовательно,

( Р +

1 )2

Р +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у (х) = Cje1' -f C2-w a' 4- С3£~2А + (jc2 +

х — 1) е~х .

 

 

 

 

 

 

 

113

 

 

 

 

 

 

 

2) у = Ctex + С2е2Х + СУ3* + хе2Х + (2х3 — 9x2 + 21х) езх.

 

 

 

X

 

 

х У

3

 

х У з

 

3)

У =

е

т

(Ci +

С2х) cos

+ (С3 + Сус) sin

+

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ х2 — Зх + 1 •

 

 

 

 

 

 

4)

у =

C

i +

С2х +

С3 + С4е~-'г +

—

(cos х — sin х).

 

 

5) Р е ш е н и е .

При решении этого и следующих трех примеров удобно восполь­ зоваться синусами и гиперболическими синусами высших поряд­

ков (см. примеры

23 и 24).

 

 

 

 

 

Операторное уравнение запишется так:

 

 

Р 4У ( Р ) — Р 3У (0) — О О (0) — ру" (Q)—

у ’" (0) — г/(р) =

. П о ­

следовательно,

 

 

 

 

 

 

,

Р 3У ( 0 ) + Р 2У ' Ф ) + Р У " ( 0 )

+

У"'(0) ,

7 ( 0

 

у{р )= = ------------------- ^

 

 

+ ^ 7 3 7 -

Пользуясь гиперболическими синусами высших порядков и

теоремой умножения, будем иметь:

 

 

 

 

у (jc) =

С\h [х]

4,4) +

^ 2^ (-^j 3)4)

С3/г (х;

2,4)

-\-

 

 

 

 

х

 

 

 

 

+ С4Л (х;

1,4) +

j / ( x — 0

Л(^; l,4)rfO

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

Переходя к

тригонометрическим

и

гиперболическим функ­

циям, получим:

 

 

 

 

 

 

 

0 (х) = Ci (ch х -f cos x) + C2 (sh x -f sin x) + C3 (ch x — cos x) +

x

+ C4 (sh x — sin x) + — ^ / ( x — t) (sh t — sin l) d t ,

о

или, в более компактной записи,

114

 

 

у (х) — Ах cos х + А2 sin X +

А3 ch х + Л4 sh х +

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

+ —

^ / (х — t) (sh t — sin t) dt.

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

6) у = (?! ch x cos x +

C2 ch x

sin x

+

C3 sh x cos x +

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

+

C4 sh x sin x +

 

^ f ( x

— t)

(ch t sin t — sh t cos t) dt.

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

7)

У ~ Cih (x;

6,6) +

C2h (x;

5,6) + C3h (x; 4,6) +

 

+

Cih (x; 3,6) +

C&h (x; 2,6) +

Cah (x; 1,6) +

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

+

j" /

(x — t) h (t\

 

1, 6) d t .

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

8)

у = C i f (x;

6, 6) +

C2/ ( x ;

5, 6) +

C3/( x ; 4, 6) +

 

~b £ 4/

(-*) 3,6) +

С5/ (x\ 2,6) +

CQf

(a^; 1,6) -f-

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

+

j / i

(■ * -* )/(* ;

1,6) dt.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

52.1) Р е ш е н и е .

Операторное уравнение будет

РГу(р) + 2ру(р) +~у{р)

= — (1+2е-2Р).

 

 

 

Р

 

 

Решая это уравнение относительно у(р) и разлагая правую

часть на простейшие дроби, будем иметь

 

 

М

__ 1__

1

(1 + 2е~2Р).

у = { р ) =

Р + 1

(Р + I)2 .

. Р

 

 

Переходя к оригиналам, учитывая при этом теорему запаз­

дывания, получим

 

 

 

 

у (х) = 1 — е~х — хе ~х + 2 [1 — е

^ — (х — 2) е

2^] tq(х— 2),

 

115

 

 

 

где r\(x) -=- единичная функций.

2) у == 2 — 26” * + [(* — а) — 1 + е- ( *” й'] г, (х — л) —

—[(л: —&) — 1 + е ~ (лг_6)] т, (х — 6).

Ук а з а н и е . При решении этого и следующих трех примеров полезно обратить внимание на примеры 36 и 38.

3)

у — х — 2 [(* — 1) — sin ( х — 1)] т| ( х — 1) +

[(лг — 2) —

 

— sin (х — 2)] т, ( х ~ 2).

 

 

 

4)

у = х — 1 +

е~~х + [sh (х — \) — { х — 1)] т) (х — 1).

5)

Р е ш е н и е .

Операторное уравнение будет

 

 

р 2у ( р ) — Л р - В + 4у ( р ) =

Ъе-°Р

 

 

----- —— .

 

Решая это уравнение относительно

у{р) и разлагая правую

часть на простейшие дроби, будем иметь

 

 

 

У (Р)

Ар + В

__ 1_

 

1

- а р

 

P2 + 4

Р + 1

 

Р2 + 4 }

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

В

sin 2х + е

(jr

— cos 2 (х — а) +

у (х) = A cos 2х 4 —

 

 

1

 

т| (х — а).

 

 

 

+ — sin 2 (х — а)

 

53. 1)

Р е ш е н и е .

Система операторных уравнений будет:

 

 

( Р + l ) y ( p ) — 3 z ( p ) = 0

 

 

— у ( Р ) +

( Р — 1) г ( р ) =

1

 

 

------

 

116

Смотрите также файлы