Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Решения этой системы имеют вид:

 

 

 

 

3

3

 

1

1

1

у (р) = ( р - 2 ) ( р + 2 ) ( р - 1 )

4

р — 2 + 4 |> + 2 ~ Р - 1'

г (р) =

P + 1

3_

1

1

1

2 1

(Р — 2) ( р + 2) ( р — 1)

4 р — 2 ~ 12р + 2 ~ 3 р — Г

 

 

Возвращаясь к оригиналам,

получим:

 

 

 

—+ — 6- 2JC_ ех.

 

4

4

г(х)-.

. е2.Г.

12

4

'

2) у = 4х + 2 — 2 cos х — 3 sin х.

г = 2 sin л- — 2х.

3)у = е~ еЛ' cos лг.

^ _ g—б* (cos х -- Sjn

 

1

И

„

3

cos х

5

—

_ ___-------eiX

4- ех — —

Ч- — .

 

2

34

 

17

 

17

=

22

2

 

4

1

sin X

----- eiX — —

ех + ---- cos х -——

 

51

3

 

17

17

5) у =

 

•х 2.

 

 

 

 

г =

х2 +

х .

 

 

 

 

6)Р е ш е н и е .

Система операторных уравнений будет:

(р + 1 )'у(р) — г ( р ) — Ч р ) = !;

— ~У(Р) + (р + \ ) 7 { р ) — 7 (р ) = 0; 117

 

 

 

— у { р ) — г ( р ) + ( р + 1) t = 0.

 

 

Решая эту систему, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р 2 — 2

 

 

1

1

 

1

i

1

У (р) =

 

(Р +

1)(р +

2 ) ( р - 2 )

3

л - 1

 

2 р + 2 н-

 

 

6 / )

— 2

 

 

___________р_____________ 1

1

 

11

J ___ 1_

2(Р) = ( Р + 1 ) ( Р + 2 ) ( р — 2)

3 / ) + 1

 

2/ >-f 2 + 6 p — 2

t ( p )

=

 

р + 2

 

 

 

 

1

1

 

 

 

2) (/7 — 2)

 

3

+ '

P - 2 '

 

 

( Р + 1) ( Р +

 

р + 1

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

г/ (х) = — е~х + — е—2Х + — е2Х.

 

 

 

 

 

" v '

3

 

 

2

 

 

6

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

г (х) = — е~х — —- е~2Х 4- — е2Х.

 

 

 

 

 

v '

3

 

 

2

 

т

6

 

 

 

 

 

 

*(-Ф

 

ръх.__. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

1

4

 

, г—

 

 

 

 

 

 

« = ~

"Ь ~~г~ cos х

]/

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

2

2

cos х

у

 

2

 

л Г -

 

 

 

= —

— —

о — -— — sin je I/ 5.

 

 

 

 

5

5

 

 

 

1 / 5

 

 

 

 

 

t = — — — cos х~У~ 5 + ■—~zz sin * l / 5 .

5

5

/ 5

8) у = - j - (cos x sh x + sin x ch x ).

г = — ( s i n x c h x — c o s xs hx) .

118

54. 1) Р е ш е н и е . При составлении операторных уравнений, соот­ ветствующим дифференциальным уравнениям с линейными коэф­ фициентами, применяются формулы:

х у " * - * - — Р * у ' ( р ) — 2 р у (Р ) + уФ )-

ху' РУГ (Р) ~У(р)-

ху^~-- у'(р).

Операторное уравнение здесь будет:

у ’ (Р) + — У (Р) = ~ У (0).

РР2

Решая это линейное уравнение, получим:

У(Р) = А г + —

УФ)-

Р

 

Следовательно, у (х) = CjX2 + С2, где С2 = у (0). 2) у = С1е* + Са{ х + 1).

3) у =

СуРх + С2 (1 + 3*) е - х .

4)

(/ =

ea^ (C 1 +

C2x2ftM)- Ф > 0 ).

5)

Р е ш е н и е.

Операторное уравнение будет

 

 

у' ( р)

+ ~ у ( р ) = ~ у ( Ф ~ у е р -

Решая это линейное уравнение, получим:

__

С,

1

I - v

У (р) = — + — у ф ) ~ — е р .

 

рз

р

рз

Следовательно,

 

 

_

у(х) = ClX2+ С2—х/2(2~\fх ).

6)у = Ci (х* + 9x3 + збх + 60) + С2ех (х2 — 8х + 20).

119

7)у = C\e~iX + С (4x2 + 1). У к а з а н и е : Использовать

мену независимой переменной, полагая

2х 4-1 =

О

55. 1) Р е ш е н и е . Операторное уравнение будет

 

и ( 0 )

 

 

у' ( Р) =- —

 

 

Р2~ \

 

 

1

• s hx,

получим

Учитывая, что у ' ( р ) ~ > — x v ,

— 1

— ху = — sh л:-г/ (0).

Следовательно, с точностью до постоянного множителя

sh х

У<Л')

x V \

2) у-

ха

3)у = е~*.

4)Р е ш е н и е . Операторное уравнение будет

 

у' ( р) + —

у (р) = -

Г (п +

1)

 

 

: рПт3

 

Его

решение:

 

 

 

 

 

 

1

с + Г (п +

1

 

 

с

Г (и -Ь 1)

 

У (Р) =-■ •

1)----------------- =

— + —— !— -

Рп^

 

 

(п + \ ) р п ’ 1

р

п + 1

Переходя к оригиналам, получим:

 

 

 

 

Г ( п +

1)

 

 

 

 

у (X) =, с +

1

 

Г (я + 2)

 

 

 

п -f

 

 

Но Г (я + 2) = (я +

1) Г (п 4- 1) •

Следовательно,

 

 

у (■*) = с 4-

 

х п+ 1

 

 

 

( я +

I)2

 

 

 

 

 

120

5) у = J0 (‘2 У х ) + У xJ x (2 У х ) . У к а з а н II с. Исполь­ зовать формулу

- > ( — y J a {2 V a x ) .

6)

Р е ш е н и е .

Пусть у(0)=Л,

Тогда операторное уравне

запишется

так:

1 —

2А

 

-

Его решений будет

-I Р + 1

у{ р ) = с р ~ 2 А р \ \ п —

Так как р не является изображением непрерывной функции,

то у{р) может быть изображением только при с= 0. Таким образом,

 

 

 

—

/

1

Р +

1 \

 

 

 

Заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

р + 1

со

dp

 

 

1

 

1

1

 

f

 

 

 

I n ----------=

\

—;-------— , так

к а к —--------77 =

— “

------- Г-

 

Р

J P ( P + l )

 

P { P + 1 )

Р

P i 1

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

—----- — -—

 

1— е~х .

По теореме

об .интегрировании

Р

Р + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

изображения имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In

Р + 1

1 — е~х

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

Следовательно,

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

р + 1

1 —

1 — е~х

х 4- е--1 — 1

 

 

— — I n ----------

х

=

х------------------

 

 

 

р

 

P

 

 

 

 

121

Смотрите также файлы