Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 4
Умножению изображения на р соответствует дифференциро вание оригинала. Поэтому
Р\ — — Ш |
р + 1 |
|
'х + е~ |
|
|
' + е- |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
х* |
|
||||
|
Р |
|
|
■ |
м |
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
|
2А |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
У (•*): |
|
(1 |
' — е~х). |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
JC2 |
|
|
|
|||||
*7\ |
I-. |
|
|
|
г, |
|
~ |
, |
( Р 4" З)2 |
|
А |
|
|
7) |
Р е ш е н и е . |
Здесь |
y i p ) — с ------------- -j- |
--------- . |
|||||||||
|
„ |
{Р + З)2 |
|
|
|
|
р + |
1 |
р + 1 |
|
|||
|
не |
является изображением, |
следовательно, |
||||||||||
Дробь |
— |
j—j— |
|||||||||||
ji(p ) |
будет изображением только |
при |
с = 0. |
Значит у ( р ) = |
|||||||||
А |
|
|
= |
# (* ), |
где Д = |
у (0). |
|
|
|
|
|||
+ j |
|
|
|
|
|
|
|||||||
8) |
у — се~х , |
где |
с = у ( 0 ) е 3. |
У к а з а н и е . |
Положить |
||||||||
|
х — 3 = |
t |
и учесть |
решение |
предыдущего |
примера. |
|||||||
9) |
у = |
.Де— |
где |
А = у (0). У К а з а н и е. Учесть, |
что дробь |
||||||||
|
Р2 |
не является |
изображением. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р + 1 |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10) |
|
------X |
где |
А = |
у (0). |
У к а з а н и е . |
Учесть, что |
||||||
у —- Ае |
а |
, |
|||||||||||
|
дробь |
Р2 |
нс |
является изображением. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
+b
56.1) Р е ш е н и е . Операторное уравнение будет
Р2У' + (4р — а)'у = 0.
Решая это дифференциальное уравнение, получим:
1 |
- - |
У (р ) = ~ 7 е |
Р • |
/>4 |
|
122
Воспользуемся формулой
ап
^^ Jn {2 ~)/ах).
Будем иметь:
|
|
|
|
|
|
_3_ |
|
|
|
|
|
|
у ( х ) |
|
X \2 |
X 2 V , а х ) . |
|
||
|
|
|
- ( |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) у — |
^ ) |
^3 ( 2 |
а х ) 4- |
а |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ i _ |
|
|
|
3) у —С ( ^ ~ j 2 (2 у Г'ах) — ~7 |
а |
J i f a V a |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) y = C x J 3 ( 2 / ях ). |
|
|
|
|
|
|||
57. |
1) Р е ш е н и е . |
С |
помощью преобразования |
Лапласа перейдем |
|||||
|
от данного уравнения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
у" + e?y = f ( x ) |
|
( 1) |
|||
|
к операторному уравнению, причем изображение периодической |
||||||||
|
функции f(x) запишем по образцу примера 36. |
|
|||||||
|
Будем |
иметь |
|
|
|
|
( р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
, |
|
|
|
Р'У — Ар — В + а?у |
= ---------- — |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 _ |
е-2 |
|
где |
# (/> )-> £(•*). |
Л= г / ( 0 ) , |
В = г / |
(0) и |
|
|
|||
ф ( л ) - т > £ ( - ф |
Г/(лс) |
(0 < |
х < 2») |
|
|
|
|||
1 |
0 |
(2® < х). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
||
|
у{р) = |
|
1 |
|
Г ¥ ( р ) |
_ Л р ± В _ |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
/Р2 + |
Й2 |
|
|
|
1 _ |
g - 2®p L р2 + д2 |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
123 |
|
|
|
или
(2)
где
(1 — е~~2тр ) ^ > F (х).
Известно, (см. [24], стр. 64), что оригинал у(х), соответ ствующий изображению (2), будет периодической функцией пе риода 2(0 только тогда, когда
F (х) = 0 при х > 2т, |
|
(3) |
||
причем в интервале 0 < х < 2т |
|
|
|
|
y ( x ) = F(x) . |
|
|
|
|
Стало быть для определения периодического |
решения у(х) |
|||
в промежутке 0<х<2ш нужно найти из |
(2) F (х) |
дважды: при |
||
х<2ш и при х>2со и из тождества |
(3) |
определить методом |
не |
|
определенных коэффициентов А и В |
(те начальные условия, |
при |
||
которых уравнение (1) имеет периодическое решение). При х < 2ы имеем
1 |
С |
■ |
В |
F (х) = — |
\ / ( / ) |
sin а ( х — t) dt + |
A cos ах -f- — sin ах. |
а |
.) |
|
а |
|
о |
|
|
При х > 2ш
2со
О = — ^ /( ( ) sin а (х — t) d t + A [cos а х — cos а (х — 2т)] +
о
|
В |
+ |
[sin ах — sin а (х ■— 2ш)]. |
а |
Из тождества (5) следует, что
2ш
Аа (1— cos 2дш) + В sin 2am = j" f ( t ) sin at dt
6
(4)
(5)
124
|
|
пи |
|
Аа sin 2а со — В (1 — cos 2ао>) = ^ у (/) cos at dt. |
|||
2шт |
|
I |
2to |
, получим А— |
р |
||
Отсюда, если 2ы Ф ------- |
------------- 2 а sin |
\/(7)cos a{t—со) dt, |
|
а |
" |
дао J |
|
2со
в^
^ f ( t ) sin a (t — со) dt.
а2a sin «ш
Подставляя найденные значения Л и В в выражение (4), полу чим искомое периодическое решение в промежутке 0<х<2ш :
</(■*) = |
' |
^ / |
(С) sin <2 (х — t) dt |
-f- |
||
|
|
|
LO |
|
|
|
|
|
2со |
|
|
|
|
+ -------------\ |
f ( t ) |
cos а (х — t |
+ со) dt . |
|||
2 |
sin дао |
Л |
|
|
J |
|
|
|
о |
|
|
|
|
Если же 2(о = |
-------, то тождество (5) |
примет вид |
||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
bit: |
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
f ( t ) |
sin а ( х — t ) ( t t ~ |
0. |
(6) |
|
|
О |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
если f(x) удовлетворяет |
тождеству (б), то |
||||
при любых начальных условиях уравнение (1) будет иметь перио дическое решение
х
В
у ( х ) = — ^ /(< ) sin a { x — t) dt + A cosax + — sin ах,
а
o'
2пл
причем О < лг <
а
125
2)При начальных условиях:
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
у ф ) - |
+ |
еъ |
[ e2tf ( t ) |
dt — — ----- \ e‘f ( t ) dt, |
||||||||
|
1 |
•> |
|
|
|
1 |
+ |
ет J |
|||||
|
у ’ (0) = |
— Ц - |
\ e*f (t) |
dt |
1 |
+ |
e,2co |
\ **/(*) d t> |
|||||
|
|
1 |
+ e “ |
|
|
|
|
|
|||||
уравнение имеет решение периода 2со, меняющее знак через полу- |
|||||||||||||
период: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
Q — 2Х |
|
О) |
||
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|||
у = |
/ ( х - 0 |
( е - ' - Н |
' ) Л |
+ --------— |
|
\ e 2tf ( t ) d t - |
|||||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
1 + е2ш |
|
•' |
||
|
|
|
|
|
1 |
+ |
ё : |
\ |
e(f ( t ) dt. |
|
|
||
|
2со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Если |
(* f ( t ) d t |
= |
0, |
то |
при |
начальных |
условиях: у (0) — про |
||||||
извольно, |
|
|
|
|
|
2со |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
У' (°) = |
"17------- - \ |
f i t ) cos (t — и) dt, |
||||||||||
|
|
|
|
2 |
sin о) |
j |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2C0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
------ \ |
f ( t ) s i n ( t - |
|
(o)rf/1. |
||||||
|
|
|
|
2 |
sin со |
.) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Данное уравнение имеет периодическое решение |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
y ( x ) |
= y ( 0 ) + 2 ^ f ( x |
— t) Sin2 — dt -f |
||||||||||
126
