Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 165

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

Sin ----- 2a>

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

COS'f'"--- +

 

t \ d t ,

 

+

■ Sill to

 

(1> ■

 

 

X 2

 

 

периода 2®.

 

 

 

периода 2®= 4 будет иметь изображение

4) Заданная f(x)

 

 

 

?(/>) =

 

— р — 2 Р _ 2ре- 2Р

 

 

 

 

 

(1 + 6 -2 Р )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операторное уравнение здесь будет

 

 

 

P?(/>) +

 

//(/>) =

Л + ? ( Р ) , гДе Л = у(0).

Решение операторного уравнения можно представить в еле-

цующем виде:

 

 

 

Ч(Р)

1

 

 

у( р ) -

 

 

-4 -

 

 

1■(1 + е ~ 2р) +

р +

1

 

р +

1

1 + е—^Р

р +

 

е-2 р

 

 

2е-2р

 

1

А

(1 + е-зр) +

+

 

 

 

 

 

1)J

1+ е

 

Р2{Р + 1)

 

Р ( Р +

. Р + 1

 

+

 

J__

_1

 

(Ь

е - 2 Р ) —

 

 

Р2

 

Р

 

 

 

 

 

+ Р + 1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

0 - 2 Р

’И р )

 

 

\ Р

 

 

 

1 + е - 2Р'

 

 

 

Р + 1

Пусть

*\>(р)

 

F ( х ) .

 

 

 

 

При х

<2:

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x ) = А е~ х +

 

х — 1 +

е~х = (Л +

1)е

х + х ~ 1 (*).

При х > 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

F (х) = 0 =

 

 

+ Л в -(х~ 2) + (дг — 1) + е - х — (х — 2) +

+ 1 — е~ (х~ 2) — 2 + 2е ~ (х~ 2К

Определяя из последнего тождества значение А, получим

127

е~х + e~ (x~ ^

А =

е~х + е - (х~ 2)

Следовательно, заданное уравнение имеет периодическое решение периода 2ш= 4, при у( 0) = —1. Чтобы получить это решение, нужно воспользоваться выражением ($.), подставив в него Л = —,1. Поэто­ му, при 0< х < 2:

у ( х ) = х — 1.

Так как период решения должен совпадать с периодом f(x), то должно быть

 

у ( х + 2) = — у( х) .

 

Отсюда следует, что при 2 < х < 4

 

 

 

у( х) =

3 — х .

 

Таким образом имеем решение

 

 

 

 

х — 1

(0 < х < 2)

 

«/(•*) = 3 - х

(2 <

х <

4),

имеющее период 2м=4.

 

 

тс \ 2

 

 

 

 

5)

При начальном условии у { 0) =

—

--------------- , имеется

 

 

 

 

1 + е“ ”

периодическое решение периода 2« = 2г., меняющее знак

через полупериод:

 

 

 

у ( х ) = ---------- ех — 1 — х — 2

 

 

 

1

+ е~*

 

 

 

где 11 (х)

— единичная функция.

 

 

(0 < х < я ) .

6)

При начальном условии

 

 

— 1 — 2-е2х

у ( 0) — --------------------

 

 

 

4 0 - е 2")

имеется периодическое решение периода 2о)= я:

128

2х — 1

г .Л

-lx

(О <

х

< %).

0 (■*) = ■

 

2(1 — е2ж)

 

4

 

 

 

 

7) При начальных

условиях: у ( 0) =

У' (0) =

tg

—

 

 

8

 

 

 

имеется периодическое решение периода 2оз=2:

 

 

 

1

cos(2x — 1)

, (0 <

* <

1).

 

4

8 cos 1

 

 

 

 

 

У(х ) =

cos (2л: — 3)

(1 < х < 2).

8 cos 1

8)При начальных условиях:

 

 

1 + 2е — е2

 

 

2е

 

 

 

 

 

 

(1 + е)2 ’

уравнение имеет периодическое решение периода 2м — 2,

меняющее знак через полупериод:

 

 

 

и (х) = 1 —

2еа

 

 

2е

хе х , (0 < х < 1).

 

 

1

+ е

у

(1 + е У

 

 

9) При начальных условиях

 

 

 

 

 

#(0) =

sin2 1

■. у ' {0) = -

sin2 1

 

т

т r;

.

0 ,

 

 

8 sin 2

 

 

4 cos 2

уравнение имеет периодическое решение периода 2м=4:

sin2 1

 

 

х

1

 

(0 <

х < 1);

---------c o s 2 ( x + l ) +

— — — s i n 2 x ,

4 sin 4

v

 

4

8

 

 

 

sin2 1

 

 

x

1

1

 

— sin 2 (x — 1)

-------- cos 2 (x +

1) — — +

—

• sin 2x +

4 sin4

v

 

4

2

 

 

(1 < x < 2);

sin2 1

 

 

 

 

 

 

cos 2 (x — 3)

 

 

 

(2 <

x < 4).

4 sin 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-1931

 

 

 

129

 

 

 

58. 1) Р е ш е н и е . Операторные уравнения, соответствующие систе­ ме дифференциальных уравнений будут

-'F ( р)

Py~ aZ = A + ^ ~ = ^ ’

— by + рг — В ,

где А = у (0), В = z (0) и

(0 < х < 2со),

(2и> < х).

Из системы операторных уравнений находим изображения иско­ мых функций:

где

При х < 2со:

Л ( х ) = ^ /( / ) ch { x - t ) V a b dt + A ch х У ab + — — sh х \ / ab,

о

V ab

 

X

 

А О

/—

+------sh х у ab.

1/ 7 ь

При х > 2«:

130

2си

Fi (х) = ^ /(ft) ch (х — ft) У''ab dt + Л [ch х |/ ab — ch (х — 2ш) X

*)

 

 

О

 

 

X У аб] +

[sh х У ab — sh (х — 2и>) У ab] = 0 .

(2)

\

ab

 

2ш

F2 (х ) = —-— ^ /(ft) sh (х — ft) У ab dt + В [ch х У ab —

У ab о

— ch (х — 2м) Уaft] + — — [sh х У аЬ — sh (х — 2и>) У aft] г О . (3)

V a b

Из тождества (3) методом неопределенных коэффициентов опре­

деляем Л и В:

2о)

А — ----------- — - \

/(ft) sh(« — ft) У ab dt,

2 sh a>У aft

g

V b

2ш

^ /(ft) ch(u> — ft) У а й dt.

B =

2 У а sh о) У ай

о

Можно убедиться, что при найденных значениях Л и В справед­ ливо и тождество (2).

Подставка Л и В в (1) дает искомое периодическое решение в промежутке (0; 2(о):

х

y{x)=^ \ ^ f ( t ) a \ \ ( x ~ t ) V a b d t - { -

о

2ш

+ --------------— \ sh (х ■+- ш — ft) У ab dt, 2 sh ш У ab q

5*

131

Смотрите также файлы