Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

■(*) =

у

^ / (t) sh (х — t) У ab dt +

+ '

^ f( t) ch (x -\- со — t) У ab dt

2 sh ю ] / ab

o’

2)

При начальных условиях:

2co

l

[/(< )sin 4 (( — 0>) +

2F(i;)cos4(^ — v)]dt,

u ( 0 ) = ------ ------ [

. s

2sin4co

.1

о

2ш

z { 0) =

4 sin 4<o

^ [/(() cos 4 (t — ш) — 2F (t) sin 4 (t — w)] dt,

система имеет периодическое решение

х

y — [ [ f (t) cos 4 (x — t) + 2F (0 sin 4 (x — ()] dt +

0

2co

+

------------- \

[ / ( 0

sin 4(^ — to — д:) +

2F(^) cos 4(^ — u>— x)]dt,

2

sin 4to

j

о

ЛГ

^ [2F(f) cos A ( x — t ) — f (t) sin 4 (x — /)] dt —

о

2to1

\

' ^

[/ (0 cos 4(( — <» — x) + 2F(() sin 4 (/ — <o — x)] d x \ .

2 sin 4«)

>

o

2о>

— I

f (t) cos 3 (ш — t) d t ,

у (0) = ------------- ^

JX

3 sin 3»

J

'

za>

г (°) =

0 '~. 'o

~ \ / ( 0

[ —

COS 3 (со — t) + sin 3 (<0 — t)

dt,

2 sin <3co

j

3

система имеет периодическое решение

2(0

X

y =

— ^ r \ f { t ) s i n 3 ( x ~ t ) d t —

-

\ / ( 0 cos3 ( jc +

*» — t)dt,

3

.)

3 sin 3<*>

j

* = у {t)

cos 3 ( x — t) — —

sin 3 { x — t)

dt ■

о

3

2a) :

2 sin 3to

№

sin 3 ( x +

<» — t) 4- — cos 3 ( x + « — t)

dt.

3

59.

la. Р е ш е н и е .

Умножаем

обе

части заданного

уравнения

на

e- pxdx и интегрируем по

х от х0=0

(правый конец отрезка,

на

ко­

Ге~~р^+^уъ dt -f

Гe ~ p{-t+^ y (t) dt —— (1—е-р) + е - ру.

J

0

J

P

—1

^

Разлагая правую часть в ряд

по степеням а~Р. будем иметь

- Ь р

^

у ( р ) = - у о!

+ У ',

J'

р

— р fc+2

( х ~

‘

Разложение у{р)

в ряд по степеням е~аР

можно

писать

сразу

по формуле

М(р)

М(р)

АГ(Р)

Q (p)

e-kaP'

у(р) =

Р ( Р )

+

Р(р)

Q (p )

S < -1)" Lp (p )

16. Р е ш е н и е .

Здесь

x0=\,

поэтому интегрирование по х нужно

проводить в пределах от единицы до бесконечности.

и

что

при

Левая часть

уравнения.

Учитывая, что

у ( 0)=0,

О < х <

1 у ' = 3,

получим

^ е~Рху (х ) d x -■=^

^ = РУ-

pxd x =~-РУ +

—

(е~р -

1

о

о

Р

Правая часть уравнения, Заменяя х—1 = t, получим

со

со

^ е ~ Р х у

( х — 1) d x =

^ e ~ p

(t + l ^ y (t) d t =

е ~ р у .

1

и

Операционное уравнение будет

_

3

-

3 - 3е~Р

У(Р) = р- —ре~р

Следовательно,

У (х ) - - Зх + 3

V 1Г (х — k)ki l

(х — k)k '

Г| (х — k) .

( * + 1)1

k\

*=1

Для х, лежащего между Л и й+1:

X I Г (jc—*)A+1

(x — k)k ~\

.

г/(л) = Зх + 3 > Р --------

{------- -

--------- —

J

УК

(£ + 1)!

k\

2 ) у ( х ) = х * - \ .

3) Р е ш е н и е . Пусть

f(p) т>

f(*). Тогда операционное уравне­

ние запишется так

Й Р ) = —

2 - е - Р -7(Р)=1ЛР)7(Р)-

Неизвестная функция г/ (х) будет сверткой функций

/ ( X ) И </! (*) -> (/t (р) =

------— ------- — .

р + 2 — е - р

Преобразуем г/Др) следующим образом:

У1(Р) =

1

+

'

Р.-кР

р + 2 — е-

s - (р + 2)*

Р + 2 ‘

р + 2

У \( х )=

^ ^ ---- е Чх k)-q(x — k).

у ( * ) =

^ / ( x - t ) - { t — k f e - W - V d t .

ft=G

0

ОО

X

j / w

-

У ,

~

^ f ( x

— t ) - ( t - k ) k e~2{t~ k) lit.

Л=0

k\

о

4а. Р е ш е н и е .

Операционное уравнение будет

Р"У

1 + у +

е~жру — 0.

Изображение неизвестной функции запишется так

у(р)-

1

1

(- 1

)ке-кщ,

1

o~kKP2( Р - + 1 )* +1

'

'

k=0

(т?2 +

i)ft+>

'

Известно, что (см. пример 34)

лf

,

и+тг

(р 2 +

,)«+!

■

—

\ 2

“ J

J

(х).

п\

]

п + У

’

Следовательно,

Х Л ( — 1 )* (-*■ — Йг.)

к+Т

2

j (х — Йг)-Т|(л: — /г~),

( / ( х ) = } т : V

------------------------------- J

fe=o

й! 2

Ь4--—

-г-

2

2