Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 169
Скачиваний: 4
Для х, лежащего между пп и (п+ 1)л: |
|
||
п |
(— \ )к {х — кг.) |
*+7Г |
|
1 /— |
2 |
! (х — Ьк). |
|
у ( х ) = У г. ^ |
------------------- ;----------- |
/ |
|
к=0 |
k+-T- |
|
k\ 2 2 |
||
|
46.Для х, лежащего между пп и (п+ 1)я:
у (х) = |
sin л: + |
У г- 2 |
(— 1)*(JC — fc=)*+ т2 J |
3 { x ^ k r . ) . |
||
|
|
(£ + |
й+— |
*+ 4 |
||
|
|
|
*“ ° |
1)! 2 2 |
|
|
У к а з а н и е . Операционное уравнение будет |
|
|||||
|
Р2У — 1 + У + е %ру |
е~ %р (1 + ежр) |
: 0 • |
|||
|
/>»+ 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При |
переходе |
|
к оригиналам |
воспользоваться |
решением при |
|
мера 34. |
|
|
|
|
|
|
5) При л < х < |
и + 1 |
|
у (х) — e~iX + 4ех — 5 + |
|||
пX
+ |
2 |
( T z n ^ - |
5 |
е~ А(х~ 1~ к) (e~v + Aet - 5>(■* - 1 - кУ ~ г dL |
|
k= l |
' |
о |
|
6) |
у (х) = 2х -f 4. |
|
||
7) |
При |
п < дг < |
п -f 1 |
|
п
у ( х ) = е - х ~ х е - х - 2 { - \ ) k e - (x~ k){ x - k)k +*Lkk± \ [ - { x — k)]. k=\
У к а з а н и е . При переходе к оригиналам использовать пример 35.
8) у ( х ) = е ~ х .
9) Р е ш е н и е . Изображение неизвестной функции будет
У iP) =
( Р - 2К / Р + \) + ( р - 3 ) е ~ ар
138
О т с ю д а
Л(— !)*(/> — Ъ)ке~Ыр
|
|
|
|
|
<(р) - |
|
2 |
|
( p - 2 ) k Tl(p-2 + |
))* ,-1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
А = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Р - |
3)* |
'e-xLk {x) н |
|
' |
V r. |
л'*+ “ J |
к + - |
W - |
|||||||||||
(/■ |
-2)к |
J |
|
|
|
|
|
|
|
А! |
|
|
|
|
|
||||
то по теореме умножения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(х) — \ |
- Ч О |
( |
- 1) |
|
ti (•*— йя) е2Х \ e~-tLk (x — t ) t |
+ 2 J |
! (O^f. |
||||||||||||
- |
|
Ц т ^ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
•А-1 |
|
к! |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
A+— |
|
||
|
|
|
A=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
При па < |
д: < |
(и -f |
1) а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
|
Л |
t)t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
V O ( — D* |
(• |
fc+2- |
|
|
|
|
||||||||
г/ (-*■; = |
Я |
|
—- |
— |
e-k ^ e~2tLk (х ~ |
|
2 |
J ^ |
х |
(/) dt. |
|
||||||||
|
>(-*■) = |
w |
: £ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k*=оo |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10) |
При |
ла < X < |
|
(л + |
1)а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
п |
|
|
ж |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у { х ) |
= |
S |
( - l y j V |
|
v C |
v - O ^ J e - 2Y * [ 3 ( / - x ) ] i A(7t)rft. |
|||||||||||||
|
|
|
* = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60. |
Р е ш е н и е . |
Направляя |
ось Oz вертикально |
|
вверх |
и |
помещая |
||||||||||||
начало координат в точке бросания, будем иметь уравнение дви жения
mz = — m g — 2kmv,
где точками обозначено дифференцирование по времени. Начальные условия будут
г (0) = 0; г (0) = v0.
139
|
Операционное уравнение будё? |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k p z , |
|
|
где |
z ( p ) —> z ( t ) . |
Следовательно, |
|
|
|
|
|||||
г(р) = |
|
|
|
2kvo±_g |
|
P + 2k |
2kp2 |
||||
|
|
|
Ak2 |
|
|
||||||
|
|
Рг (р + щ |
|
|
|
|
|||||
|
Возвращаясь к оригиналам, получим |
|
|
|
|||||||
|
|
|
z(t)-- |
|
2kv0 + g |
(1 — e - ikt) — |
gt |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ak2 |
|
|
|
2k |
|
|
61. |
х —а(\—cosnt), |
где п2 |
g_ |
|
|
|
|
|||
|
l |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . Задача сводится к решению уравнения х + п гх = ап2 |
||||||||||
при начальных условиях х(0) = х(0) = 0. |
|
|
|
||||||||
62. |
х = |
|
Р |
|
|
|
|
где л2 = |
( 1 |
1 \ |
|
----------------- (Mnt -f т sin tit), |
k \ — |
+ — . |
|||||||||
|
|
М {М + т ) п |
|
|
|
|
|
\ М |
т / |
||
|
У к а з а н и е . |
Задача сводится к решению уравнения |
|||||||||
x - \ - n 2x |
= bt |
при |
начальных |
условиях л:(0) = 0 , |
х ( 0) = |
||||||
|
|
|
|
|
|
kP |
|
|
|
|
М ’ |
причем |
обозначено |
b |
|
|
|
|
|
||||
Mm |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63. |
х = |
Т |
|
|
tn |
m |
|
|
— |
|
|
Am |
t2 — — |
+ — cos t V |
|
|
|
||||||
|
|
\ |
Rk |
kft |
у |
|
tnm |
|
|
||
|
У к а з а н и е . Рассмотреть движение центра масс. |
|
|||||||||
64. |
х = |
15 |
{ |
|
/ |
3£_ |
|
V |
t |
|
|
----- a |
cos |
I / |
|
- |
cos |
|
|
||||
|
|
26 |
\ |
у |
|
35 |
|
|
|
|
|
NO
й5. Р е ш е н и е . Пусть ль, |
х2, хъ— смещения частиц относительно |
положения равновесия. Уравнения движения будут |
|
Злу + |
л2 (2лу — х2) — О, |
4 х2 + и! (2х3 — Xj — х3) — О,
З х + я2(2х3— х2) = 0 ,
где П‘ Начальные условия запишутся так:
ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х г (0) = |
х2 (0) = |
х3 = 0; |
|
х г (0) = |
- — |
, |
|
х 2 (0) == х 3 (0) = |
0 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 т |
|
|
|
|
|
Соответствующие операционные уравнения будут |
|
||||||||||||
|
|
|
(3р 2 + |
2л2) Xi — я 2х 2 = |
|
Р |
|
|
|||||
|
|
|
-------, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
т |
|
|
|
|
— rfixi + |
(4jxfl + 2л2) х 2 — л2х 3 = |
0, |
|
||||||||
|
|
|
- л2х2 + (3р 2 + 2л2) x s = 0 . |
|
|
||||||||
Решая эту систему, получим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
10т V6р 2 + я2 |
— :----- — + |
' 3р" + 2л2 |
|
|||||||||
|
|
р 2 + л3 |
|
||||||||||
|
|
*3 : |
Р |
( |
|
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Ют \ |
6/?2 + л2 ' |
р'2+ |
л2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
х 3 = |
Ют \ 6р 2 + |
я2 |
|
+ |
■р 2 + |
л3 |
|
|
З/?3 + 2л2 |
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
р |
|
( |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
Xj = -------- |
I -------sin |
----- — + sin nt + |
---- 3 |
sin |
nt), |
||||||||
lOffm |
\ у |
1 Г |
V<o |
|
|
|
|
|
|
|
|||
141
