Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 166
Скачиваний: 4
|
|
Р |
/.. |
,— |
nt |
, |
|
|
|
|
у |
b sin — — — sin nt , |
|
||
|
|
Ютп |
|
У 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
i |
4 |
nt |
|
sin nt — |
5 |
nt |
X 3i s -------- |
I |
---- 3 sin |
■— 3 - + |
----— sin |
|||
10м ' У6 |
у 6 |
|
|
Уб |
|
||
66. mo = ----- 13 — 5 cos nt + 2cos |
|
nt I , где |
n- |
||||
10 |
1 |
|
|
|
|
|
3J |
67. Р е ш е н и е . Уравнение движения в векторной форме будет
m W — — Ь>Н\ — kmv.
с
Уравнения движения в координатной форме будут
|
х = |
by — kx, |
|
|
|
у = |
— b x — к у , |
|
|
еН |
z —— kz, |
|
|
|
|
|
|
|
|
где b - |
|
|
|
|
при начальных условиях |
|
|
|
|
.г (0) = у ( 0 ) = |
г (0) = 0 , |
х (0) = и, |
у (0) = г (0) = 0 |
|
Решая эту систему операционным методом, получим |
|
|||
ка |
ku |
ъ, |
Ьи |
, |
Ь2 4 Ц2 |
& 4 № |
e~ Rl cos bt 4 |
—7---------e~ Rt sin bt, |
|
|
№ 4 k3 |
|
||
bu |
и |
., |
|
bt). |
и — — -----------4 ------------ e~kt (b cos bt + k sin |
||||
z = 0, т. e. движение происходит в плоскости хОу.
142
68. л: = |
Hv -f- Ec |
и |
sin bt, |
||
-------------(1 — cos bt) + — |
|||||
|
Hb |
b |
|
|
|
и = |
|
Hv 4- Ec |
и |
(1 — cos bt), |
|
v t — -------------( b t — sin bt) — — |
|||||
a |
|
Hb |
b |
|
|
z — wt, |
где |
eH |
|
|
|
b = -------. |
|
|
|||
|
|
|
me |
|
|
У к а з а н и е . |
Уравнения движения будут |
|
|||
|
|
|
.. |
eH . |
|
|
|
|
т х = Ее + |
-------у , |
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
еН . |
|
|
|
|
т у == — ----------х , |
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
mz = |
0 , |
|
при начальных условиях |
|
|
|||
х (0) = у (0) = |
z (0) = 0 , х (0) — и, |
y ( 0) — v, z (0) = w . |
|||
69. Р е ш е н и е . Дифференциальное уравнение Кирхгофа до включе ния рубильника К в данном случае имеет вид
di (t)
L — -f Ri (t) — Ei) (R — R, + R-i), di
i (0) - 0 .
Решая это уравнение операционным методом, получим
Установившийся ток в контуре до включения рубильника К будет
Ер
2устан п
ИЗ
Дифференциальное уравнение Кирхгофа после, замыкания ру
бильника К будет |
|
|
|
|
|
|
||
|
L — — |
+ RtHt) = E 0, |
|
П, |
||||
|
i( 0): |
|
||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
R |
|
Решая это уравнение операционным методом, найдем |
||||||||
|
i (t) = |
£ 0 |
|
R2e |
L |
|
||
|
|
Ri (^?i + |
Ri) |
|
||||
|
|
|
Ri |
|
|
|||
70. Р е ш е н и е . |
До замыкания |
рубильника по второму закону Кирх |
||||||
гофа имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di(Q |
-Т {R\ + Ri) i (0 — uos'n (m^ + |
Ф)- |
|||||
|
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пуеть i(p)^- |
i(t). |
Тогда операционное уравнение будет |
||||||
|
Lp i (р) + (Ri + Ri) i (p) = |
щ |
м cos ф + р sin ф |
|||||
|
|
p *1 -j- to2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
Введя обозначения R {-\-R2=R и — = 6, получим |
||||||||
i (P) -- |
«о (“ COS ф + p sin ф) |
|
|
|
X |
|||
U p |
+ b) (p2 + |
Ш2) |
|
L (*2 + |
||||
|
|
|
M2) |
|||||
b sin ф — и cos ф)р |
и (o> sin ф + |
b cos ф) |
||||||
X |
/>2 + ft)2 |
+ |
|
|
+ |
0)2 |
Р + Ь |
|
|
|
|
||||||
Возвращаясь к оригиналам, будем иметь |
|
|
||||||
.... |
“о |
[b sin (W + |
ф) — о) cos (шt |
-f ф) — e ~ bt]. |
||||
i(t) = |
|
|
||||||
|
L (№ + (о2) |
|
|
|
|
|
||
Вводя |
вспомогательный |
угол |
ср, |
полагая, |
что tg 9 = |
|||
получим |
i (t) = |
|
sin (о>t -f ф — cp) |
|
о—bt |
|||
|
V b 2 + CO2 |
|
62 -(- 0)2 |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
144 |
|
|
|
|
При установившемся колебательном процессе будем иметь
«о |
sin (« / + ф — 9). |
'( 0 = |
|
L У 62 + |
и2 |
После замыкания рубильника по второму закону Кирхгофа:
r |
d i i t) . |
Rtf (t) |
г, |
i (0) = |
«oSin(+— ?) |
L |
— — - + |
0 и |
------ |
||
|
a t |
|
|
|
L У № + «2 |
Решая это уравнение операционным методом, получим
Кг .
Ир sin (ф — <р)
4 я 2)2 4 w
где tp= arctg |
ОL |
. |
■OI + К2
71. Р е ш е н и е . В момент включения рубильника К (в момент под ключения э. д. с. к контуру) по второму закону Кирхгофа имеем
Rih (О 4- Rsh (О 4 ^ |
V) |
|
=^о. |
||
dio (t) |
I f |
|
Rah(t) +- L — — — + — \ \ h i ^ ) ~ h i ^ ) \ d ^ |
||
at |
c |
J |
Решая эти. уравнения операционным методом, получим систему операционных уравнений
F-n
^ 1*1 ip) 4 {Lp + Ri) h ip) = '
— h ip) 4- (/.C/>2 4- R%Cp + 1) /2 (p ) — 0.
Отсюда находим
E0(LCp*+ R2Cp + l)
H {P) = p [LCRtffi + {R,RoC + L )p + Rt + R3] '
|
h{P)7 |
p [LCRiP2+ (RiR^C + L)p + /?i + #21 |
|||||||||
|
Ток, создающий в контуре колебательный процесс, будет |
||||||||||
|
i (t) -■ |
С + |
e~ at (.4 cos u>t + |
В sin <at). |
|||||||
|
Следовательно, |
изображение такого тока имеет вид |
|||||||||
|
|
— |
С |
|
А (р + а) + Вш |
|
|||||
|
|
I (р) = --+ -----;-— -----• |
|||||||||
|
|
|
|
р |
|
(р |
4- я)2+ " 3 |
|
|||
|
Таким образом, колебательный процесс в контуре возможен толь |
||||||||||
ко тогда, когда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LCR\P^~{-(RiR-гР -Г L) р -Т R\ + R%> 0. |
||||||||||
|
Это неравенство возможно при условии |
|
|
||||||||
|
|
(RiR.C + L f |
< stLCR\ (/?! + R2). |
|
|||||||
|
Отсюда следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
||
(R.RsC - L f |
< ALCRv, |
- |
2 |
V l C < R ^ C |
- L < 2Rl У LC\ |
||||||
|
R\C |
|
Y |
t |
< R 2 < |
RiC |
2 Y |
( *) |
|||
|
Итак, условием существования колебательного процесса в рас |
||||||||||
сматриваемом контуре является неравенство ( *). |
|
||||||||||
72. |
ac (t)-. |
' 0 |
|
e~ bt |
Л cli At -\- [ b - |
— | sh At |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RtC |
|
где |
b=^ 3 L ± 3 L |
и A 9 = b i . |
|
LC |
|
|
|
|
|||
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . Задача |
сводится |
к |
решению |
дифференциального |
||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d-ur (t) |
„ |
|
R‘>) |
|
dur (t) |
uc (t) — 0, |
||||
|
LC |
” |
|
' + С (/?! + |
|
~ |
+ |
||||
|
|
d t 2 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
146
