Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

при начальных условиях

 

 

ис (0) —

dac (0)

 

Е0,

CR2 ’

 

dt

где « с(0 — напряжение на конденсаторе в момент времени t.

73. /,(*)

/.н

sin и,/

6t

h (0 --- ----—— sin Wfl!1, Z.2o>o

У к а з а н и е . В схеме рис. 25 выделить три замкнутых контура: 1—2—7—8, 2—3—6—7, 3—4—5—6 и применить к каждому контуру второй закон Кирхгофа.

75. Р е ш е н и е . Задача эквивалента следующей: «контур,

состав­

ленный из последовательно соединенных сопротивления и

катушки

индуктивности, включен на прямоугольное импульсивное напряжение амплитуды £ 0 (см. рис. 34). Найти величину тока в течение «-го им-

147

Пульса и в течение п-и паузы, если i(0)=0». По второму закону Кирхгофа

'

di(t)

i( 0)=- 0,

 

w + R i ( t ) ^ E { t ) ,

 

где

dt

 

 

 

 

 

 

 

n

f £ 0 при ( k -

\ ) T

< t < ( k — \ ) T + tu

£ ( o = 2 « * (o .

«*(0 =

 

+

< t < k T .

£=i

1 0 при ( k — J ) T

ati

t,

(n-ЦТ nT t

Рис. 34

Полагая i ( p ) - ^ i (i), E ( p ) - ^ E(t)^ и uk ( p ) - ^ uk (t),

будем иметь операционное уравнение

L p7(p ) + R i ( p ) = E (p).

Отсюда

 

i ( p )

 

E (P )

 

L (p + b)

где

 

 

 

 

£(/>) = £

M p ) =

£

[е- ( * - 1)ГР _ е- ( * - D ^ j .

Й=1

 

 

 

Следовательно,

 

 

7 w

- fft=i-

E

Р ip -I- Ь)

148

Этот результат моЖно переписать так:

Е а

1 _ e~ U p +

чр _ и-{Т+П)Р +

‘ (Р) = Lb \ р

р + b

 

+ е~2Тр—е~&т+il)p + ... + е~(п 1)1р —

Отсюда, при (п — 1) Т < t < (п — 1) Т + tx имеем:

‘ « o - F l ' -

. e~bt + e~b(t~tl) — e~b{t~T) + .. .

 

. , . _|_ e - b \ t ~ ( n - 2 ) T - h \ _

 

 

 

Следовательно,

величина

тока

в

течение «-го

импульса будет

 

i (t) = ■

 

 

 

 

Г]

 

 

R

 

 

 

X

 

 

 

 

R

 

(1 - е ~ ьт)

 

X [(1 _

 

 

 

 

 

 

 

Величина тока в течение п-й паузы:

 

 

 

_ _£о_

е-»[< -(п -1)?•-<,)(!

 

_ e~ nbT)

f ( 0 = Я

 

 

 

(1 - £ - 6Г>

 

76. Р е ш е н и е .

Задача сводится

к

системе

двух уравнений

1

Г

 

 

di\

(t)О ,

„

dij(t)

„

—

ii(t) dt + L1

—

+

M

dt

Е п

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„

d'hit)

, r di2(t)

,

1

t

„

f , ............

M

dt

 

+ L*

dt

 

+

с Г У ’ ( )

'

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

причем г'ДО) =

;'2(0) =

0 .

 

 

 

 

 

 

149

 

Соответствующая система операторных уравнений будет

 

 

 

( С ^ р 2 +

\ ) к ( р ) +

МС1Р>12(р ) =

Е^Сг,

 

 

 

 

 

MC^P‘ii (р) 4- (,C2L2p'2 +

1) h {р) = У ■

 

 

Решая эту систему, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Н (Р) ■

___

 

ЕцС] (C2L2p- + 1)

 

 

 

 

 

(CXC2LXL2 -

М 2С:С,)p i +

( C ^ i

+ C2l , ) р 2 +

1

 

 

1'ЛР) ■

 

 

 

EJZxC2Mp-

 

 

 

 

 

(С\СчЕ\Е^ — /Vf-CjCo)p l +

(C\L\

+ C2t 2) P" +

1

 

Если обозначить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

M2 ■ = k ,

V

c 1C 2L 1L=2k a

и V

( C

i L

+t

C 2L 2)2— 4a? = b,

 

 

L,L,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(P1CJ-4L2 — Л42С1С2)p i + (C\Li +

 

 

+ 1 —

 

 

 

—- a2p 4

(C\Lj -f- C2/-2) P2 ~t-

1

— a2 ( p2 +

 

( p 2 + «2)’

где

w

 

 

C\Li 4- C2L2 — ^

 

4 /

CjLi 4~ С*2^2 4~ Ь

 

 

 

lap‘

’

“ 2 = j /

'

 

2д2

’

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-V

,

,

ЕцС , ( С , Ц р 2 +

1)

^

,

 

 

 

Ey£ xC2Mp2

h ( p ) = --------------;------------ — .

h(P)--

а Ц р 2+ u>f)(p2 + uf)

 

 

 

a2 ( p 2 -+ o)j) ( p2 +

<d|)

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h (0 =

~

E qCi [ “>2 (1 — C2L2u>\) sin wjT — u>i (1 — C2L2mf) ■ sino)2/],

 

 

 

h (0 =

—

ЕйСхС2М (ш2 sin u>it — u)j sin u>2t).

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

150

77.

При t > Т

 

 

 

 

 

i (t) =

'1

„—at sin bt +

■

Lb

e-a(t-T) sin b{t — T),

 

Lb

 

 

 

где

R

b2 — --------

 

>

0 .

a ~ ----- ,

47.2

 

2L

 

CL

 

 

 

У к а з а н и е .

Операторное уравнение здесь будет

 

 

 

1 -

:(Р)

 

Е х( \ - е - Р т) + Е2еРт

 

L pi(p) + R i ( p ) +

 

. р

 

 

 

Ср

 

 

78. Р е ш е н и е. По второму закону Кирхгофа имеем

di (t)

+ Ri (t) — и (t).

dt

Операторное уравнение здесь будет

(Lp + R ) T ( p ) = l i ( p ) + ((О).

Так как u(t) — периодическая функция периода Г, то

 

~PtD\

 

_

 

\ a i ’ ПРИ 0 < t < T ,

и ( р ) ~ ------------где g ( p ) ^ > g ( t )

i

при t > Т .

 

 

1 — е~~рТ

 

 

(О,

 

 

Отсюда g(.p) ~ — (l — е

аТ

и

 

 

рТ)■

е рГ

 

 

 

 

 

Р

 

 

 

1

а ( 1 - - е

рТ)

аТе~рТ

I (0)(1

- Р Т )

г" ( Р)

 

-рТ

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

L 1р + L

 

 

Lp"[р 4

 

L p [ p + -

Для краткости письма обозначим через Ф (р) алгебраическую

сумму функций, стоящих

в последнем

выражении в квадратных

скобках и положим

 

 

 

 

 

 

 

 

i (0)

_

R

 

 

 

 

= А,

~ г = в '

т

ь , < H p ) ^ F ( t ) .

 

151

Смотрите также файлы