Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 4
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Ф(Р): |
А { \ — е~рТ) |
АТе~~рТ |
В { \ — е- рТ) |
|||
Р2(Р + Ь) |
р ( р + Ь) |
р + Ь |
||||
|
||||||
Отсюда, |
при 0 < t < ^ T , |
имеем |
|
|||
|
|
А |
|
|
n—bt |
|
|
F ( t )■■ 62 |
(bt — 1 + e- bt) + Be |
||||
При t > T: |
|
|
|
|
||
F (t) = |
e~ bt |
62 ~ |
-еьт+В( 1— ebT) + АТ ,ьт = 0 . |
|||
|
|
&2 |
|
|
||
,F(t) тождественно равно нулю при условии
А(№Т — 1 + е ~ ьт)
В=
ЬЦ1 — е~ ьт)
Следовательно, если в заданном контуре до подключения перио
дической э. д. с. был ток |
|
|
а (ЬТ - |
■е~ьт) |
Ь = |
f(0) = |
е~ ьт) |
|
62(1 - |
L |
то под действием заданной периодической э. д. с. в контуре возник нет периодический ток
|
|
аТ |
I t |
1 |
„—bt |
|
|
i (t) = ----- |
T |
bT |
-bt |
|
|
|
W |
R |
|
|||
причем здесь |
0 < t < T. |
|
|
|
|
|
79. 1) Р е ш е н и е . |
Применим к заданному |
уравнению |
преобразова |
|||
ние Лапласа относительно переменной х, полагая |
|
|||||
и ( р , у)~Р>и(х, у) и f ( p , у) |
(х, у). |
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
—. |
, |
ди ( р , у) |
— |
— |
у), |
|
аРа ( Р> р) + ь ------7------- |
+ с и ( р , |
y ) = f ( p , |
||||
|
|
|
ду |
|
|
|
152
Применим к полученному уравнению еще раз преобразование. Лапласа относительно переменной у, полагая
« ( Л q)-r>u(pt у) и Т ( р , 9) - > / ( / ’. у)-
Получим
ари ( р, q ) + ЬдЪ ( р, q) — Fu(p, 0) + си(р, q )= 7 (P , q).
Если применить к заданному дифференциальному уравнению дважды преобразование Лапласа в другом порядке (сначала отно сительно у, а затем относительно х ) , то получим
ap7i(p, q) — аи (0, q) + bqu(p, д) — by (р) + ей (р, q ) ^ f ( p , q).
Из сравнения полученных результатов следует, что
и (0, q) = 0 и и( р, 0) =.tf (р) ср (а-).
Следовательно, после двукратного применения преобразования Лапласа имеем
ар и( р, q) + |
bqu{p, |
q) — Fj (р) + ей (р, |
q ) = 7 ( P , q ) - |
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
и{р , |
h ( р ) + f ( p , д) |
|
||
|
ар + bq + с |
|
|||
|
|
|
|
||
Возвращаясь |
к |
оригиналу и ( р , у), получим |
|||
_ |
ар+с |
I |
У _ ар+с t |
||
й ( р , у ) = е |
|
ь У^ (р ) + — |
ь |
7{Р< У — t) d t . |
|
о
Возвращаясь к оригиналу и(х, у), получим, учитывая теорему запаздывания:
при х > - у у
и (х, у)==е
153
а
при .V< |
У |
|
|
|
Ь |
|
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
а |
с |
а |
|
о |
\ |
е ~ь |
|
и (х, у) = — |
|
|
||
2) Р е ш е н и е . |
Применим |
к заданному уравнению |
||
Лапласа относительно переменной х, полагая |
|
|||
Получим |
|
и{р, у ) ^ и ( х , у). |
|
|
|
|
|
|
|
ди{р, у) |
_2 |
у \ и ( р , у) |
|
|
др |
Р |
|
||
|
|
|
||
Отсюда
dt.
преобразование
0 .
|
_ |
еРУ |
|
|
|
|
и ( р , У) г== |
~ [е~~ру ( РУ3 — РУ + У2) + С]. |
|
||
|
|
Р2 |
|
|
|
и (р, |
у) будет изображением |
и (х, у) только |
при С = 0, так |
как |
|
при |
у > 0 функция — еРУ |
неограниченно |
возрастает |
при |
|
Р2
р-*• оо. Следовательно,
—, |
, |
у3 |
и |
у2 |
|
|
и(р, у) = — — — + — и и (х, у) = у3 — у + ху 2. |
||||||
3) и (х, |
у) = |
у + |
sin х — sin у. |
|
|
|
У к а з а н и е . |
Применить к заданному уравнению преобразование' |
|||||
Лапласа относительно переменной у, положив |
|
|
||||
и (х, р) — и (х, у). |
|
|
|
|
||
4) Применим к заданному уравнению и краевым |
условиям |
преобра |
||||
зование Лапласа относительно переменной у, полагая, что |
|
|||||
«О*. |
|
у), |
и (0, |
И(0, у) и « (/, |
р ) - ^ и ( 1 , |
у). |
|
|
|
|
154 |
|
|
Получим |
|
|
|
д-и {х, |
р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
р 2и (х, р ) ~ а2 |
дх2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (0, р ) — — |
и |
и ( 1 , р ) ~ |
О. |
|
|
|
||||
Из уравнения (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
р) |
|
|
рх |
|
|
рх |
|
|
|
и (х, |
= С\ c h ----- |
+ Со s h ----- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
Используя равенства |
(2), |
находим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, |
pl |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
c.h — |
|
|
|
|
Ci = |
— |
и |
|
|
|
а |
|
|
|
|
С2 = ■ |
. |
pl |
|
|
|
|||||
|
Р |
|
|
|
Р |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
sh |
— |
|
|
|
Таким обоазом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р х |
pl |
|
|
|
|
— |
A |
I |
р х |
|
s h -----сп — |
|
|
|
||
|
|
а |
а |
|
|
|
||||
и ( х , р ) ~ — |
I с п -----■ |
|
|
pl |
|
|
|
|||
|
р |
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, по теореме обращения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и Рх I |
Р1 |
' |
\ |
|
|
АеРУ |
I |
р х |
s h -----ch — |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
I dp - |
||||
|
|
р |
c h ----- |
|
и Р1 |
|
|
|||
|
|
\ |
а |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
sh — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
еРУ ch |
р х |
|
|
|
|
|
р х |
|
|
pl |
|
|
|
|
|
s h ----- ch — |
|||||
Res |
|
|
|
Res еРУ |
, |
pi |
|
|
||
р- о |
|
|
|
|
arnii....... |
|
|
|
||
|
|
|
|
P“ —j— |
p sh — |
|
|
|||
|
|
|
П m,—CD |
|
|
|
CL |
|
||
(!)
( 2)
155
5) Применим к заданному уравнению преобразование |
Лапласа по |
||||||||
переменной х, полагая, что |
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем |
и ( Р . У ) ~ ' “ (х, у) и 7 ( р ) - > / ( * ) . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди ( р , у) |
|
|
|
|||
|
(р* + а?)и(р, у) — |
|
|
= / (л ). |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и (р, у ) = С е {р2+аг» |
+ |
f ( p ) |
|
|
||||
|
jо2 + |
я2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
и(р, у) будет изображением и (.г, у) |
только |
при С = |
0, |
так как |
|||||
при р-~ со |
и у > 0 , |
функция |
е^рг+а >' у неограниченно |
возрас |
|||||
тает, Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
/ ( р ) |
* |
Г |
|
— t ) s i n a t d t . |
|
||
м( Р. </)= |
ГД— — |
— |
\ f ( x |
|
|||||
|
|
р 2 + а2 |
а |
.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
6) w (х, |
*/) — л: -f- у cos j: — sin x — |
|
x sin x. |
|
|
||||
|
x |
|
|
|
___ |
n |
|
|
|
7) u ( x , |
y) = § f ( x — t) sin t d t + |
У т сх ^ |
Cknx kyn~ kJk+Xh(x). |
||||||
|
о |
■ |
|
|
|
ft=0 |
|
|
|
8) Применим к заданному уравнению преобразование Лапласа отно сительно переменной х, полагая что
и ( р , у ) - ^ и ( х , у),
f ( p . « )-> /(* > у), и ( р , 0)^*и(х, 0).
156
