Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Имеем

 

 

 

ди ( р, у)

 

 

Р

У ( у ) + а и ( р , y) = f ( p , у).

 

дУ

 

 

К полученному

уравнению еще

раз применим преобразование

Лапласа относительно переменной у,

полагая, что

 

 

и ( р , ?)-> гГ (р , у),

 

^

(у), 7( р ,

У)•

 

Будем иметь

 

 

 

p q u ( p , q ) ~

W ( q ) - p l ( p , 0) + a u( p, q) = ~ f{p , q).

(1)

Если применить к заданному уравнению дважды преобразование Лапласа в другом порядке (сначала относительно у , а затем отно­ сительно х), то имели бы

pqu.{p, q) — qu(0,

q) — <t{p) + au{p, q ) = J ( p ,

q).

(2)

Из сравнения (i) и (2) следует, что

 

 

 

 

 

qu(0,

q)

Ф (?) и

р и ( р ,

0) = ? ( р ) .

 

 

Следовательно,

после

двукратного

применения

преобразования

Лапласа к заданному уравнению, получим

 

 

 

 

 

(/>? + л )гГ( р ,

q) — 7 ? ( q ) — Y

( P )

= f

( P

,

Ч)-

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и ( р ,

q) -

>(p) +

W (q) + / ( р ,

q)

 

 

 

 

pq + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возвращаясь к оригиналу и ( р ,

у), будем

иметь

 

 

1

 

—

 

у

а t

 

 

 

 

u iP> У) =

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

/ ( Л . y — t ) d t .

 

 

 

 

 

 

157

 

 

 

 

 

 

Отсюда

находим и(х, у):

 

Л

 

 

V

и ( х , у) — j

ср (х — t) / 0 (2 'j/'ayt) dt + j* Ф (у — t) J 0 (2 У a x t ) dt +

о

v

 

о

 

х

__

 

+ ^ dt

j”f (х — т,

у — t) J0 (2 У"atx) dt.

Оо

При решений задач 80—83 нужно считать, что электрическая линия расположена вдоль оси Ох, и что она однородна, т. е. сопро­ тивление, индуктивность, утечка и емкость этой линии постоянны и распределены равномерно. Через R, L, G и С соответственно обозна­

чены сопротивление, индуктивность,

утечка

и

емкость,

отнесенные

к единице длины линии.

сводится к

решению

дифференциального

80. Р е ш е н и е . Задача

уравнения

 

 

 

1

 

 

д2и

 

где

а —

 

 

дР "

 

— .

 

Я дхз ’

V

LC

 

 

 

 

 

при начальных условиях

 

 

 

 

 

 

и (х,

0) =

ди(х, 0)

0

 

 

0 ,

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

и краевых условиях

 

 

 

 

 

 

и (0, t) — E (t ),

и ( х ,

t ) — ограничено

при х

оо ,

т. е. изображение этой функции и (х , р) не должно неограни­ ченно расти при х -* оо. Операционное уравнение здесь будет

_

д2и (х, р)

и

_

—

р2и (х,

р) = а2 ----- — ;---- -

и (0, р) =

Е {р).

Отсюда

 

р х

р х

 

 

 

 

 

и (х, р) — Схе

“ + С2е а .

 

Так как и (х, р) — ограниченная функция при х —> о о , то должно быть Cj= 0.

158

Используя первое краевое условие, определим Ct:

и (0, р) = Ё ( р ) = С 1.

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

р х

 

 

 

Поэтому

 

 

и ( х , р ) = Е ( р ) е

а .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (х,

t)

О,

при t < —

=

х ^

LC,

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E ( t

— х'У-LC),

щ'А t

у

L C .

81.

и( х, t)-.

 

О, при t < ах,

 

 

 

 

 

e —a m x g у _

п р и ^ у аХ !

 

 

 

 

 

 

 

где

b

=

CR + LO

 

 

 

 

 

 

т ----- —

-------------■.

 

 

 

 

 

 

 

а2

 

 

2LC

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

Задача

сводится к

решению

дифференциального

уравнения

 

 

д2и

 

ди

 

д2и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2 —— + 2b — + с2и = —— ,

 

 

 

 

dt2

 

dt

 

дх2

 

где

а2 = CL,

 

 

CR + LG

с — RG,

 

 

 

 

b — ----- ------ ,

 

 

 

 

с начальными условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и (х, 0) =

0 ,

ди (х, 0)

 

(х

> 0),

 

 

 

-----—----- = 0

и краевыми условиями

 

 

 

 

 

 

и(0, t)=E(t),

и(х,

t) — ограничено при х-^оо.

должна удовлетворять

82. Р е ш е н и е .

Искомая

функция ч(х,

t)

уравнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д2и

д2и

 

 

 

 

 

 

 

 

-----= а2 - —

 

 

 

 

 

 

 

 

dt2

дх2

 

 

 

 

159

начальным условиям

 

 

 

да (х, 0)

' = 0

 

и(х, 0) = 0 .

Уд(

 

и краевым условиям

 

 

 

и (0, ^) = £ 0 sinco£,

u (l,

t) =

0.

Операционное уравнение запишется так

 

 

д2и (х, р )

 

р 2и (х, р) = а2

дх2

 

 

 

Изображения краевых условий будут

 

 

и (0, р) =

, и(1,

р) — 0 .

р* + ш2

 

 

 

Из уравнения (1) находим

 

 

 

и (х, р) = Сх ch —— + С2 sh

а

а

 

 

Используя условия (2), определяем С,

и С2:

 

 

■£|,ш ch

IP

С , = -----51---- , С2=

 

 

Ip

р 2 + Ш2

 

 

 

(р2 + си2) sh

Следовательно,

p ( l — x)

 

 

 

sh

 

 

и (х , р) =

со2) sh IP

 

(р 2 +

 

( 1)

(2)

160

Смотрите также файлы