Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл (4,55Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Возвращаясь к оригиналам, находим и(х, t):
		р(1 — х)
Ецш	a+loo ept sh — ------- - dp			Епи>
	f		а
U (х, i) г=	J		1р	X
2та		(/?2 +		2тл
	a - i °о		u)2)sh —
			а	р(1 — х)
ep t s h l i L - J l dp			еР1sh

X	ip	\| ^	Res	1р ’
„
г ( р2 + <и2) sh —			(Р- + “ 2) sh —
	а			а

где Г — замкнутый контур, ограниченный прямой Re р=а и окруж ностью С, которая является пределом последовательности окружно стей Сп : —R n, не проходящих через особые точки подынте гральной функции, при R „->оо. Обозначим подынтегральную функ цию через Ф(р). Эта функция имеет простые полюсы в точках

аптл	1, 2, 3,..
± и», + -------- (и

1(I — х)

Res Ф ( р ) =;

р —!ш

2/ш sin

sin ■

Res Ф ( р ) ~ —

p=—io)

2/ш sin

Сумма этих вычетов равна

(cos о4 + г sin wt),

и)1

0)1	(cos o>t — i sin o>t).
0)1
sin	ш (/ — X)
sin	sin о)t
	а
	0)1
	со s in -----
	а

6-1931

161

ai sm

—

n rx \

anrt

anr.t

Res

Ф (/?):

г " “ ~ T )

+ i

sin

a2n2r 2

( c o s -

l cos nr

ai sin^wt

anr.t

anrt

Res

Ф (p)--

c o s -------— i s in -------

p = ~

a n n i

C f i t f i r 2

)■

—

>2— --------- i l cos nr

nrx

anr.t

2a sin —-— sin —-—

Сумма этих вычетов равна

„ „

„

a2n2r

Следовательно,

n r x

anrt

г .

o>(/— x)

gln

---------------sm

2a&

s i n ----- sin

-—

l_______ l_

a (x,

t) =

£ 0

----------------—---------

+ —

a2n2r 2

— U)2

sin ■

/z=i

■---------

Sin

( 2 n + l ) r . x

(2я + 1)т^

---------

COS-------

“

83.

u( x,

t ) =

4tt0 ^

------------

21 V

—

2n + 1

n=0

У к а з а н и е .

Задача

сводится

к решению дифференциального

уравнения

д2и

д2а

dt2

дх2

VLC

при следующих условиях:

и {х,

ди{х, 0)

= 0 ,

и (0,

ди(1, t)

0) = и0,

0 = 0 . —

г Л- ^

дх

-■162

(2п+1)тъх (2n+\)ar.t

Q	8Ql	S‘n	21	' C° S	21
84.		-------		( 2/1 + 1)2
	n=0			( 2/1 + 1)2
	n=0
У к а з а н и е .	Задача сводится	к решению		дифференциального
уравнения	д2и	д2и
	д2и	д2и
	----- = а2 —------
	dt2	дх2
	„		ди (х, 0)
при следующих условиях: и (х, 0) = 0 ,			---- -------- = 0 ,
			dt

и (0, t) = 0, ---- ^

дх

g x (21 — х)

85. и (х, t) ■

2а2

16g l 2

713#2 Z Ы ) "

л-0

г д е	Е — модуль Юнга.
Е
(2n +	1) nx	( 2 n + l ) a r J
s in ------- —------- • cos ■
21		21
	( 2n+ 1)3

У к а з а н и е . Задача сводится к решению дифференциального

уравнения		д2и	д2и
		д2и	д2и	+ g,
		dt2	дх2	+ g,
		dt2	дх2
где g — ускорение силы тяжести, при условиях:
и.(х,	ди (х, 0)			ди(1,	t)
и.(х,	0) == 0 , ■	- = 0 ,	и (0, f) = 0 , ------ =		0 .
		dt		дх
		<ох
	A sin -----sin <оt
86. и (х, t)	=	а
86. и (х, t)	=

а>1 sin ■

163

ш х

патЛ

(— 1)" sin ■

Ааи

апт.

л-1

У к а з а н и е . Задача сводится к решению дифференциального уравнения

		д2и		а?		д2и
		дР		а?		дх2
		дР				дх2
при следующих условиях:
и (х, 0) = 0,	ди (х, 0)		0,	и (0, 0 = 0.			и	0 = A sin шt.
и (х, 0) = 0,	-------------=		0,	и (0, 0 = 0.			и	0 = A sin шt.
	dt
87. Р е ш е н и е .	Задача	сводится			к	решению		дифференциального
уравнения		<52«				д2и
		<52«				д2и			( 1)
		дР			а2 —				( 1)
		дР				дх2
при начальных условиях		X
		X		(0 < х < с)
		с		(0 < х < с)				ди (х, 0)
и (х, 0) = / ( х ) :		с						ди (х, 0)	0 .
и (х, 0) = / ( х ) :			X					dt	0 .
	I ~		X	(с <		X < /)		dt	:
	I — с			(с <		X < /)
	I — с
и краевых условиях .		0 =		0,	и (I, 0 =		0.
	и (0,	0 =		0,	и (I, 0 =		0.
Применим к уравнению (1) и краевым условиям одностороннее
преобразование	Лапласа		относительно				переменной		t, полагая
и(х, р) -^>и (х , О-
Имеем						д2и (х, р)
						д2и (х, р)			(2)
	Р2и (х , p ) —pf (x ) = а?						d *2		(2)
							d *2
	11(0,		р) = и (/,			р) =	0.		(3)

•164

Применим к уравнению (2) одностороннее преобразование Лап ласа относительно переменной х, полагая

«(?> £ ) - > « ( * , Р) и / ( ? ) - > / ( * ) •

Имеем

	«2 (ч3~	')«($■> р ) = а ? и ' ф , р) —p f (q) ■		(4)
Изображение кусочно-непрерывной функции /(х) будет:
			-г?
		с	с (I — с) • + 1 — с
Из уравнения (4)		находим
и (д, р) =	« '(О, Л)		le~cq	е
и (д, р) =			с(1— с)	I —
			с(1— с)	I —

а2?2(^2~ -& )}

При 0 < х < с имеем
—,	,	~	и ' ( 0 , р )		р х	а		рх	х
и (х,	р)	~	-------------s h ------			----- s		h -	ср
			ар		а	cy?2		а	ср
При с < х	<	/	имеем
	s		« ' ( ° . /> )	,		а	sh	рх	х
# (х, р) —-------------s h ------ --						—	sh	——"	ср
			ар		а	ср2		а	ср
			al		р (х — с)			I (х — с)
			-sh		а		с {I — с) р
	с (/ — с)р2				а		с {I — с) р
Полагая в равенстве (б)				х*=1, находим,			что
						р(1 — с)
				сР_	аЧ sh •
		a' (D, р) ■		сР_
		a' (D, р) ■		ср				pi
				ср				pi
					ср (I — с) sh