Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Подставляя значение (7) в равенства (5)

и

(6), будем

иметь,

что при

0 < х < с:

,

,

Р С - с)

, р х

—

х

al

s h

------

1------

s h -------

а

р)

а

и (х ,

ср

pi

с{1 — с) р 2 sh

при

с <

х <

/:

, ,

Р(1 — с)

, Рс

—,

ч

I — х

al

sh

-------------

а

sh —

+

а

а (•*> Р) =

~ ------—

----------------

,

,

pi

(1 — с)р

с(1 — с) р 2s h -----

а

Возвращаясь к оригиналу, получим

”

sin

ш х

п~с

an-t

----- --------s in

l

c o s -------

и (х, I) — ■

2Р

l

l

с (I — с) т:

/1=1

88.

(2n + 1)r.x

A(uc — «(,)

COS-------~

/'ая\22л+ 1

2/

l >

2

и (x, t) — uc —

2л +

1

n=0

У к а з а н и е .

Задача сводится

к

решению

дифференциального

уравнения

да

д2и

( / >

0 ,

0 < х

< I)

dt

— а2 -------,

дх2

при

условиях: и (х,

0) = « п,

да (0,

/)

0 ,

и (/,

г) — ис.

-----~

---- =

дх

89.

и (х,

/) =

и0 Erf с ■

2«о

ёи.

2я j / f

j At

У к а з а н и е .

Задача

сводится

к

решению

дифференциального

уравнения

ди

д2и

~7Г = я2 Т Т (* > °> 0 < х < оо),

при условиях:

dt

дх2

и(д-,

0) =

0 , и (0, t) — a0,

и( х,

^ — ограничено

при

х - * со.

х

2

a Y T

90.

и{х,

t)

и0 E r f -------— =

—

f

2в У t

У Г,

j)

У к а з а н и е .

Задача

сводится

к

решению

дифференциального

уравнения

ди

д2и

„

„

—— -

а2 —— , (t^>0,

0 < х < оо),

dt

дх2

'

при

условиях:

и( х,

0) =

и0,

и (0,

t) =

0,

и (х, t) — ограничено

при

х

оо,

91.

Р е ш е н и е ,

Задача

сводится

к

решению

дифференциального

уравнения

ди

д2и

(t

> 0 , 0 <

х <

оо),

---- = Д2 -------

<5/

дх2

при условиях: и(х,*0)—0,

и(0, t)=f(t),

и(х, t) — ограничено при

л: —»

оо.

Операторное уравнение здесь будет

ри (х,

IРи(х , р)

р) = а2

дх2

при

условии

u ( 0 , p ) =

f ( p ) .

Из операторного уравнения имеем

_ х ^ Р

х Т~Р

й ( х , р ) = С 1е

а + С 2е а .

Так как по условию

задачи и(х,

р)

не должно

неограниченно

возрастать при х-^со , а

отсюда

и

С2= 0.

Следовательно, Cx=f(p).

х V р

и(х, p) = f ( p ) e

(*)

Известно, что

х V~p

■Erf с

= А

\ е u'du.

2а V t

l/_

J

) V r .

d (*

/

V

J

I

2

г / ( х) хе 4аЧ‘- т)

= *оS /(x)

е

и‘du

у _" о

2«(if—t)'z

V

\

Itfx =

—— \

---------- -— dx.

2a Vt—т

Последний

интеграл можно

преобразовать

с

помощью замены

переменной, полагая

х

=

и .

..............—

2а V

t -

х

Выполнив эту замену, получим

и (х,

t) —

\

/ ('

X2

е

“ da.

V~

4а2и2

92. u(x, t)

п~х

Г „

*

пт.и

- у -

/( и ) siin

-------da.

/1=1

У к а з а н и е , Задача

сводится к решению

дифференциального

уравнения

д2и

да

да

.

/ Аи

2

да \

при условиях

' й

\ дг2

г

дг

)'

и (г,

0) — «0,

и (/?,

^) =

0 .

Пусть u ( r , p ) - ^ u ( r ,

t).

Тогда

операционное

уравнение

будет

J d i T i ( r , p ) ,

2

да (г, у;)

ри (г ,

р) — и0 =

а2

----- —----- + -

---------------

( 1)

(5/-S

дг

при условии

u( R,p ) ~ = 0 .

(2)

Считая в уравнении

(1)

г — параметром,

деля это

уравнение

на а2 и умножая на г, получим

га" + 2м' — —

гм =

— —

г.

(3)

Обозначим

а2

а2

w

Р

ио

V =

=

Г =

Х’ “ = *•

*г/" + 2(/' — а ? х у ~ ~ т х .

(4)