Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл (4,55Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 153

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Уравнение (4) удобно решить операционным методом (полезно при этом обратить внимание на решение примера 55). Решение будет

				sh пх	т	[ sh пх		\	•
	у — у(0) -------------------------------- 1								•
				пх	п?	\	п х	)
Следовательно,		возвращаясь к уравнению (3), будем иметь
				sh •rV J			«0_		\
и (г ,	р ) ~ и	(0, р )		■			«0_		1 .	(5 )
и (г ,	р ) ~ и	(0, р )		■			р		1 .	(5 )
				r V	Р		р
				r V	Р				/
							\	а	/
Полагая	в (5)	r ~ R ,		находим		и (0, р):
							r V p
	и (0, р)		== —
						sh r V ]
Поэтому решение (5)			перепишется так:
				Щ		R sh r V ' p
	и {г, р) =			Щ
						г sh r V		i
Возвращаясь к оригиналу, получим
		?a0R	у	(— 1)'/1+1			(апк\ 2
и (г,	t) ■	?a0R	у	(— 1)'/1+1				t	■ ПТ,Г
и (г,	t) ■	■кг			п				sin
		■кг			п				R

94. Задача сводится (после перехода к полярным координатам и использования симметрии) к решению дифференциального уравнения

ди	д2и		1	ди
=	а2 ^	+	г	дг
1м	дг2
при условиях	0) = и 0,	u(R,	t) = 0 .
и (г,
Пусть u(r, р ) - ^ u (r, t). Тогда			операционное уравнение
будет
	д2а (г, р)				ди (г, р)
ри (г, р) — ий= а2			+ ■ г		дг
	дг2

или (штрихи обозначают дифференцирование по г):

- , -	Р -	"о
	а2	а2

Решая это уравнение операционным методом по образцу преды дущей задачи, получим

и(г, , ) _ е д ( П 5 ) + Д» .
V а !	р

Для определения С полагаем здесь r=R. Тогда

«о

С--

r V ]

P h

Следовательно,

ч«о

и(Г, р ) ~ ----

r V p

Чтобы по полученному изображению найти оригинал, поступаем аналогично решению задачи 82.

171

Обозначим

			r V p
		eP‘Jо
		Ф ( Р ) = ‘		V ' i
			r	V ' i
		P-Iq
Функция Ф(/?)	имеет простые полюсы в точках
		а2 о
7> = 0 , р = — — ^			{п=-= 1, 2, 3, . . . ) .
где (.1,г — корни функции / 0(х).
Находим вычеты:
Res Ф ( jc) =	1;	Res Ф (р) —		Че	R r J o l ^ r
Res Ф ( jc) =	1;	Res Ф (р) —			РлЛ (рл)
р=0		Р			РлЛ (рл)
р=0

Таким образом,
и {г, t) = м0— и0 1 — 2 ^					(^fl)
					(^fl)
или окончательно
		,	/ ря	\	I р 1 t
1(г,	О =	J*	\ R	r ' e
1(г,	О =	2«0^

Ря-Л (ря)

Я = 1

Раздел третий

95.1) Р е ш е н и е .

1 - - г •* ~7 ; Л (2 К х ) <f- —

172

По теореме умножения

1 --

На основании формулы
Т ]		^ У а Х) ^ ^ е		>,
при я = 2, а= 1, получим:
	\ е р		xJ2 { ч У х ).
	Р3
Следовательно,
х
^ (х — О У0 ( 2 V t )			dt = xJa( 2	У х ) .
о
п + т+1			( 2 V а * ).
2) — (п + 1 ) X	2	уп+т+1
л+1		уп+т+1
У к а з а н и е .	Умножить		и разделить	данный интеграл на
т
2

а и воспользоваться формулой, приведенной в решении преды дущего примера.

3)x Jq(x ) . У к а з а н и е . Заметить, что

т**xJ0(x ).

(р2 + 1)3/!

4)sinx —х /0(^)-

5)xJi (х) . У к а з а н и е. Заметить, что

xJx(л)-

(Р- + i f 2

173

G)— sin ax. a

7) Р е ш е н и е . Находим изображение

	Jm{x) . r ( ] / > + I - / » ) "
				dp.
		5	Vp2+1
Полагая ~\^p2 +		1 — p ~ t ,	будем	иметь:
		Yp *+ i —p		{ V p 2+ 1 — р У
Jm (x ) ^		C tm-l	dt :	{ V p 2+ 1 — р У
X	‘	J
Применяя теорему умножения, получим:
		V7+Т-Р)т+			m-t-п ( Х )
^ Jm (t)Jn ( x — t ) d t * ~			т V ' p 2+ 1
о			т V ' p 2+ 1
о
тп	Jm + n ( x )
о) ------ ;—	• --------------•
т -+■п		х