Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

2)

-----------------.

'

а2 + £ 2

3)

Р е ш е н и е .

Используем формулу

| f ( x )

d* = <?

(0),

v

Sin.*

полагая / ( * ) =

-------- <г-

х

? ( р ) =

dp

1

ср (0) =

т.

----------==

arct g— ;

-—■

р ъ + \

5

р

Y v '

2

Следовательно,

Sin X

It

-------- d x = — .

x

2

4)

arctg — .

f ( x )

=

cos ax — cos bx,

9 ( p ) ~

p 2 + a2

p2 +

b2

Ф (p) — —

,

a ( x ) = l .

Поэтому

P

cos a x — cos bx

x

x

\

d x =

■

b

J

x

■d x

----------- +

------------ -

In

—

6

x 2 + a?

x 2 + b2 J

a

0

2)

Р е ш е н и е .

Полагая

e

2ax— 2e

+

e 26ж =

/( х ) ;

1

=<K/0 -

P3

Получим:

1

6 +

■; g (x) =

x .

p +

2a

p 4

a +

p 4 2a

Следовательно,

e - a x _

e —bx N 2

x

2x

d x —

d x —

: 4 2a

x + a + b

x 4 2b

■In

(2a)2a (2b)2b

( a + b f a+b)

3)

Р е ш е н и е , sin x-cos ax = yj-[sin (я +

0 x + s in (1 — а )х ].

Полагая / ( x ) — sin x cos ax;

i

получим:

ф ( р ) = — ,

P

1 -f a

4

. ? W

=

1.

2

!_P2 +

(1 +

p2 4

(1 — a)

a)2

Следовательно,

если | а \

< 1:

sin х cos ах

1

1 + а

--------------— dx

Х2 +

dx -

О

(1 +Я)3 у-JfS + (1 —Я)2

О

Если | а | — 1,

то (см. пример 96 — 3)

Если j a | > 1 , то

получим:

sin x cos ax

arctg

arc tg ;

■d x -

1 + .a

Таким образом,

i

~

3!

x

i g — a X

ч(р) =

4!

Следовательно,

х 3 d x

- а х d x

-

(х + o f

\ \

4я

a -f~ 1

У к а з а н и е .

Положить In х=

— t.

10)

+ 1).

У к а з а н и е .

Положить x2=t.

11)

1

№ +

26 + 2

—

In — -------z — .

2

я2 +

2а + 2

У к а з а н и е . Положить In х=

— t,

12)

r-b

- У ат<

У к а з а н и е .

Положить х= у

г

13)

Полагая f ( x ) = / 0(*) — cos х , ф ( р ) = ' — ,

получим:

Р

У р2 + 1

Следовательно,

^ [Л>(-*0 — cos*]

d x

dp = In 2 .

= W -

о

oJ

\

V ja

+ 1

p2 + l

14) Р е ш е н и е .

2л—I

2л—5

■*

J 2л—1

( * )

. 2

^

J in—1 (x ) d x =

^

• d x =

/4.

*2

2л—1

/(■*) =

■*

2 ^ 2„ -

l W

^

— -------- = у(У>

(см. пример 34),

(p*+

1)"

'K/0 = — Г "-

S ( x ) = x .

Следовательно,

2л —1

2л—3

А = 2

2

(я — 1)!

Г

дга'дг

_

2

2 (я — 2)!

У и

J (х3

1Г

у я

0 ^

+

98. 1) Р е ш е н и е .

Используем

частичный случай теоремы Эфроса:

^У о(У -*2- < 2 )/(< ) dt<i-

-ср (У /Р +

l)-

о

V Р-

'

В нашем

случае /(.« ) =

1;

ср(р):

9 ( V Р2 + 1 ) =

I V + 1