Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

л:

^ / 0 ( ) Л * - p ) d t + r

• sin X.

^ + 1

•

3) Р е ш е н и е .

Используем

частный

случай

теоремы

Эфроса:

5 Л> (2 V t ( x - t ) ) f { 0

+

В нашем случае

f ( x ) = e-2А',

?(/?) =

’ Т

+ р )

(р +

I)2

Р + 2

4)

1

— x sin x .

’

2

5)

Р е ш е н и е . Используем

частный

случай теоремы Зфроса:

со

п

1

^

2 Лг(2 V x t ) f ( t ) d t + -

t)n+i

В данном интеграле полагаем t = 2 Y

ху. Тогда

Л ( 0 dt — \

Л ( 2 V x y ) d y -

0

Т

Т

i

/

Jr

\ 4

~ Г f

J i (2 V x y ) у 4 dy.

Здесь

f ( x ) = r . x

4

/

1

——

— f (p )> n = —

з

2

Поэтому

г ( т)

1

'f

—

' 5

p “-rl

\

p

Следовательно,

p

p

1

1

\

J j

(t) dt =

x 4 ■x

4

= 1 .

о

2

n + (7 +

1

2ч

•.

У к а з а н и е .

Положить jc =

6)

^ и — $ + 1

a ?+1

= У у , а = 2 У а

и

в

получившемся

интеграле умножить

п

и разделить

подынтегральное

[

а

\ 2

выражение на

—

/

\

1/

7)

Р е ш е н и е .

Полагаем

х =

У г /,

я =

2 V"a , 6 = 2 У

Тогда

оо

оо

^ Jn (ах) Jn~x (bx) d x

= - ^ - \

Jn (2 К *y)Jn- i (2

—угг •

X

2

У У

Умнойив и разделив на

( — )

,

получим:

оо

\

У 1

о

П

^ Jn (ax) Jn~\ (bx) d x ~

”

^

^

. 2

о

x (2 V * y ) y 2 J n ~ \ h - V h ) dy-

Известно,

что

: 2 Jn (2 Y a x ) ^

Поэтому

n-\

n-

1

2

У 2 J n - A 2 V h ) ^ - 4 — e p

Используя

формулу,

приведенную в

решении примера 98 •

(п. 5) получим:

п—1

^ Jn (ax) /„_ ! (bx) d x

.

P

2

1

-«-f

".

. ,_L еч >р

о

P

Заменяя а и (3 их значениями, получим изображение иско­

мого интеграла в виде bn- i

1

-

~ р

Возвращаясь к оригиналам и учитывая при этом теорему

запаздывания,

получим

(

Ьп~'

“

(b >

а).

— I

----------,

] Jn (ах) Jn—, (bx) d x

l

0 ,

(b <

a).

8)

2

У к а з а н и е .

Учесть

2п-«'л? -п + 1Г л

q - 1

2

пример 98

(п. 6).

заменяя а через- у

х и 6 через У ?, будем иметь:

1

Г

J„+1( 2 V x l ) S m ( 2 V ? ( ) ) d t

2п~ т )

п+1~т

е®

п-Ь1

т

=- -Ч т г5

(т) 2 4 + i ( 2 V ^ ) f a ^ ( 2 V T 0 r f < .

2П—тх 2

о

Изображение получившегося интеграла будет

рИ+2

'

• V р

У

Р

1

где чр(р) =

р — есть изображение

функции

т

f ( x ) = x 2 л У т У ) .

Следовательно, учитывая теорему запаздывания

m

ft2

1 2

(* > Р).

пЛ +2

р-РР .

Г (л — от +

1)

«л—тга + х

О

(х < Р).