Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 4
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
Лг" 1 |
Jт ( ^ ) |
d x = |
|
/ а 2 — № \п~т |
|||
|
|
|
|
|
1) а |
) |
|
|
|
|
|
Г (я — m + |
|||
|
|
Ьп |
|
ьг |
|
|
|
Ю) |
|
|
4а2 |
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
(2в2)” +1 |
|
|
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Положить х = |
У у , |
6 = 2.1^? |
и воспользо |
|||
ваться |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
«/ • |
|
' |
п п + 1 |
, - t |
|
I№
11)—— cos
2а 4а
У к а з а н и е . |
Положить х = ~Vу , |
b ~ 2 У^р" и воспользо |
|
ваться |
формулой |
|
|
|
J/о |
— |
? |
|
о |
|
|
12) |
|
i 2 |
|
2й |
4а |
|
|
|
|
||
99. 1. |
Р е ш е н и е . |
Известно, что |
|
f e - axJn(bx) d x = Ф (0),
где Ф (р) есть изображение подынтегрального выражения.
res q= —a
|
|
|
(q + a ) V { p - q f + bi |
|
|||||
ф (/> )= , |
|
1 |
|
; |
. |
|
|
1 |
|
|
|
|
®( 0) = - |
|
cfi + b2 |
||||
|
V (p + a f + b2 |
|
V |
||||||
2) Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J0(bx) cos ax |
Ф (p)\ |
j |
j 0(bx) cos ax d x = Ф (0). |
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Ф (/>)=--2 res?Jj(9)<p(p — 9), |
|
|
||||||
|
Ф(Р): |
|
P |
■ . . . ... |
|
|
|
||
|
p 2 + a2 • |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
?(.P) |
= |
|
|
^ J 0(bx). |
|
|||
|
Vp2+£2 |
|
|
|
|
||||
Ф (p) |
q (q —jo)__________ i |
|
|
+ |
|||||
(q-ia)(q.+ ta)' |
- ^ (/7_ |
9)2 + |
|
i2 |
|||||
|
|
q=ia |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q( q + ia) |
_______ i |
■ |
|
|
|
|||
(q |
ia) (q + ia) |
y |
( p _ q ) 2 |
+ bz |
|
q=.—ia |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
ia)- + W |
+ |
|
|
lay + |
|
||
V ( p + |
2 V ( P - |
|
b2 |
||||||
Ф (0) = |
1 |
|
' |
• |
1 |
|
|
1 |
• |
2 V b 2 — a2 |
|
h V b * — a? |
V b 2 — a? |
||||||
|
|
||||||||
3) Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin bx+- |
|
b |
'HW; |
|
|
|
||
|
p 2 + b2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
185
Jn(ax)+■--------------------------- |
( V p 2+ ' a K ~ p ) n = ?(/>). |
|
|
an ] / p 2 -f |
a2 |
Ф(р) = Xres^ |
b [V (p — q)2 + a2 — (p — g)]n |
|
|
(92 + b2) a" |
— #)2 + a2 |
Находя вычеты относительно особых точек q=bi и q= —W н полагая в результате р=0, получим
ф /л\ _ |
1 • (V а'2 — 62 + ib)n — (V а2 — Ь2— /б)я |
1 _ |
2/а ” |
Запишем комплексные числа в показательной форме:
V а2— Ь2 + ib — ае ,
________ |
|
|
|
. ь |
|
|
|
|
|
|
|
—I arcsin — |
|
|
|
|
|||
у а2— Ь2 — ib — ае |
|
|
|
|
|
|
|||
Используя формулы Эйлера, будем иметь |
|
|
|
|
|||||
. |
ь |
. |
. |
ь ■ |
. / |
|
. |
Ь\ |
|
in arcsin—г —in arcsin-АЛ |
|
I |
|||||||
ап \е |
а — е |
|
|
а I |
sin I |
п arcsin |
— |
||
Ф ( 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ian ~\/~а2— Ь2 |
|
|
V а 2 |
Ь2 |
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
sm |
|
b |
|
|
|
^ Jn (ах) sin bx d x ~ |
Ф (0) = |
п arcsm ■ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
V а2 — Ь2
cos п arcsin
4)
V а2 — b2
186
5) |
1 |
( |
|
b \ |
I. У к а з а н и е . |
Учесть решение при |
|||||||
— si nl warcsi n |
— |
||||||||||||
мера 9 9 (п .З ) |
и использовать формулу |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Jn {ax) |
( V р * + а» ~ р У |
|
|
|
|||||||
|
1 |
/ |
х |
Ь |
' |
|
пап |
|
|
|
|
|
|
6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— cos |
п arcsin — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
\ |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) Р е ш е н и е . |
Полагая х = |
|
\ Гt , |
|
b — "j/p , |
получим: |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
р e~atc o s 2 ^ ^ t |
■dt. |
|
|
|||
|
е~ах cos 2bx dx |
|
|
|
V7 |
|
|
||||||
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
~Г |
|
|
|
|
||
Известно |
(см. |
пример |
9 п. 3), |
|
|
|
cos 2 V V |
1 |
- |
^г |
|||
|
ч т о ---------— ------*т-------- е |
р • |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
T-t |
~V~p |
|
|
|
Поэтому, умножив и разделив на |
V я и учитывая эту фор |
|||||||||||
мулу, будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
j* е |
ax2cos 2Ьх = ^-Я -^ -at |
cos 2 V fit |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V r d |
|
|
|
|
|
|
~yr~TZ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
V T |
|
|
2 |
у |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tOO. 1) |
p e ш e н и e. |
В данном случае: |
|
|
|
|
|
|
|||||
f ( x , t) |
! — cos x t |
|
¥ (p , |
|
|
|
|
— — - — 1, |
|
||||
p |
|
|
' |
|
P |
\ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
P |
/>= + P |
1I |
|
||||
|
|
1 |
/ 1 |
|
|
|
|
|
it |
1 |
. TtX |
|
|
|
H P ) - 5 P |
\ p |
|
pi — P |
|
dt = |
T'~pi~^ ~ |
|
|
187
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 — cos xt |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P |
|
■dt - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
2 |
|
3) |
2a . |
|
4) |
О |
*)■ |
|
||||
|
|
|
|
|
2a? |
|
|
|
|
|
|||
5) |
Р е ш е н и е . Изображение искомого интеграла выразится так |
||||||||||||
|
|
|
f ( p ) : |
|
|
|
d t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t* + 4) ( Р + р з ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t + B |
|
|
|
C t + D |
- |
E t + F \ |
|
|
||
|
|
V + 2 t + 2 |
+ —— Ъ— — + |
T |
■: ■\dt. |
|
|||||||
|
|
|
|
P — 2t + 2 |
|
P + p 2 |
|
|
|||||
|
Значения коэффициентов будут |
|
|
|
|
|
|||||||
|
A |
|
P2 + 2 |
|
В = D |
|
|
|
|
|
|||
|
|
C = |
|
|
|
|
4 (р^ + 4) |
|
|
||||
|
|
|
8 (p* + 4) |
’ |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
£ |
= U; |
|
F = |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p 4 + 4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выполнив интегрирование, получим: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
<P(P) = |
л |
р г — 2p + 4 |
|
|
|
|
P + 1 |
|
|
|||
|
8 |
p ( p 4 + 4) |
|
|
P |
( P + |
1)2+ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
sin xt |
■dt = — |
(1 — e—x cos x). |
|
|
||||||
|
|
|
t( t4 + |
4) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
8 |
v |
|
|
’ |
|
|
||
6) |
Р е ш е н и е . Изображение искомого интеграла будет |
|
|||||||||||
|
<Р(Р)= \ е~РХ[ \ |
sin xt cos t |
dt |
|
|
cos t |
dt. |
||||||
|
|
|
|
|
|
pt 4 - |
p |
||||||
|
|
|
|
) d x A |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
188