Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 4
Используя решение примера 100 (п. 3), получим:
<?(Р)= ~ — е~Р.
Z р
Применяя теорему запаздывания, будем иметь
7Г ( * > 1),
sin x t cos t
dt =
0 (лг < 1).
|
|
|
0 ( o I), |
|
7) |
5 |
cos x t sin t |
г |
|
■dt — |
||||
|
|
¥( x < 1 ) -
8) |
Р е ш е н и е . |
Считаем x |
за независимую переменную, a y |
||||
за параметр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда изображение данного интеграла будет |
||||||
|
<р(р)— ^ е~Рх |
^ sin — sin y t d t j d x = |
|||||
|
|
о |
|
о |
|
|
|
|
= |
^ sin yt{\^ |
е~рх sin — |
d x ^ j d t —- |
|||
|
|
o |
о" |
|
|
|
|
|
oo |
|
1 |
|
|
oe |
|
|
--------- |
|
1 |
ts 'm yt |
|||
|
sin yt- -------- |
------d t = |
p |
||||
|
' — |
\ |
- —------ |
||||
|
0 |
p 2 + |
1 |
|
p 2 |
i |
p + |
|
|
|
|
0 |
|||
P
189
Используя пример 100 (п. 2), получим: <р(р) -
2 р*
Возвращаемся к оригиналу, используя формулу:
а |
П |
|
— |
|
|
Р |
X \ 2 |
|
■/„ (2 У ах J. |
||
П?1+ 1 |
|
|
Следовательно, |
|
|
\ s i n — s ' m y t d t = — Л / |
— Jx {^l"\f х у ) . |
|
i t |
2 у |
у |
о |
|
|
■О|«
9)Р е ш е н и е . Изображение интеграла будет
+эо
<?(р) |
е~Рх |
^ |
Р + t + |
- d t \ d x - |
|
|
|
|
0 |
—СО |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
е—рх sjn |
x . t d x \ d t |
|
|
|
+ х, |
|
И |
At + B |
Ct + D |
, |
||
tdt |
|
||||||
|
|
|
+ |
— |
-------- |
\dt. |
|
\ (Pp + t + l) ( ^ + /> 2) |
V + t + 1 |
f2+ /P |
|
||||
|
|
|
|||||
Находим значения коэффициентов: |
|
|
|
|
|||
А = — С . |
/)2— 1 |
В = |
- |
1 |
|
|
|
р4 _ |
/)2 |_ 1 |
|
|
1 |
|
||
|
Р1— Р2 + |
|
|||||
|
0 = |
Р* + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
190
Выполнив интегрирование, получим |
|
|
|
|
|||||
?(Р) |
|
71 |
|
р — - — (р2 + 1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
Pi — р» + |
1 |
. |
Уз |
|
|
|
|
|
|
|
|
р “ — р. V s + 1 |
|
|
|
|
||
Уз О-р/з +0 У + р У з + 0 |
|
|
|||||||
2% |
|
|
|
|
|
г, |
1/3 |
|
х |
|
|
|
|
|
2г |
- -Г— |
|||
|
|
|
|
|
- / ( * ) = - |
Уз |
■е |
sin х — |
|
1/1 У У |
|
- h |
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
101. ^ Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть 9 (р) |
-V х пе~х . |
|
|
|||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Р(Р) |
|
|
п\ |
|
|
|
|
|
|
|
( Р + 1)я+1 ’ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ t*e~% (2 У x i) d t ~ - |
~ |
ч ^ 1 = |
п \ р п |
|
|
||||
{ р + l )n+1 |
’ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
^ tne ~ % ( 2 |
У xt )d t |
|
Р |
п\ Ln (x). |
|
||||
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
Ln ( x ) = ——' |
\^tne—tJ ^ { 2 V x t ) d t |
(см. при |
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
мер 27).
1 П~ -- 2 .
3) Д о о з а т е л ь с т в о . Пусть у ( р ) - ♦ е~хх
191
Г ' л + Т
Тогда |
^cos 2 У лгГ X |
0 »+ |
i) |
, л - — |
1 |
X e ~ lt 2 |
dt ■+; |
|
Vp |
— ^ cos 2 j/"xt -e- *t V *T V ?
л! x
1 |
Т + Т К |
( т ) - |
0 »+ i )"+1 |
|
г(л + т ) ^ -0"
dt-
Л + -
j_ |
_ _1_ |
2 j |
2 (x). |
__л: |
|
|
|
_ |
n___ |
|
||
Итак, Ln |
2 ( x ) = ------ |
^ cos 2 |
|/x C e - * f 2 dt. |
|
||||
|
n \ V * |
£ |
|
|
|
|
|
|
|
г—ч |
|
/ _ ПЯ 22V |
00 |
/--- |
1 |
||
Откуда |
|
Г* |
rt- — |
|||||
Я>„ (У л: ^ |
|
V * |
|
:----- \ |
cos 2 У x t е~Ч |
2 |
||
|
|
|
|
• |
o'5 |
|
||
|
(— 1) п 2 п + 1 е х |
, |
е |
,, |
|
|
||
и Н2п (х) = -----------—------- |
\ |
1 t-n cos 2xt dt |
|
|||||
|
|
У т. |
|
|
|
|
|
|
(см. пример 30). |
|
|
|
|
|
|
|
|
102. У к а з а н и е . Сравнить изображения интегралов. |
|
|||||||
|
TZ |
|
Р |
|
Р |
|
_ In Р |
|
|
t(P) = Y |
Р2 + 1 |
|
Р2 + |
1 |
Р |
|
|
|
|
|
|
|||||
192
