Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 4
103. |
У к а з а н и е . |
Сравнить изображения интегралов. |
||||
|
9(J,) = T ~ |
^ T |
+ |
р |
•In р. |
|
|
Р2 + 1 |
|||||
|
|
|
||||
104. |
Р е ш е н и е . |
Найдем |
изображение данного интеграла и перей |
|||
дем к оригиналам, используя при этом теорему умножения, будем
иметь: |
|
|
|
|
ь |
cos x t |
1 |
b |
sin bt |
С |
||||
\ |
-------------dt = — |
|
arctg — |
---------dt . |
|
|
|
а |
t |
о |
|
|
|
|
|
|
Нужный результат получим при 6 -»оо |
, учитывая при этом ре |
|||
шение примера 100 (п. 3). |
как в |
предыдущем примере, будем |
|||
105. |
Р е ш е н и е . Действуя, |
||||
иметь |
|
|
х |
|
|
|
Ь |
cos x t |
|
sin bt |
|
|
Г |
|
г |
||
|
\ |
—---------- d t — arctg b-ch x — \ sh {x — t ) ------------dt. |
|||
|
J |
1 + r2 |
|
i |
t |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
Положим в этом выражении x — b. Объединяя после этого интег |
||||
ралы, получим нужный результат. |
|
|
|||
106. |
Доказательство. Применим к одному из данных интегралов фор |
||||
мулу Парсеваля: |
|
|
|
||
|
Г |
е~ахх (—1 |
|
Г (t) x s- ' e ~ bx |
|
|
{Ь + х у |
|
|
d x ~ |
|
|
|
|
( а + * ) < Г ( 8) |
||
|
|
e-btxs- 1 |
d x = Г |
|
e-byy s-i |
|
|
= Г |
V ) \ |
dy. |
|
|
|
(a + x ) ‘ |
|
(a + y)‘ |
|
107.1) У к а з а н и е . Использовать формулу Парсеваля.
Раздел четвертый
108. 1) Р е ш е н и е . Составляем операторное уравнение, используя при этом теорему умножения.
7-1931 |
193 |
|
Операторное уравнение .будет |
|
|
||
|
1 |
р |
— |
— |
|
|
— --- :— = — - - ---- |
и ( р ) , |
где u (p ) - > m(jc). |
||
|
р2 _ 1 |
j»2 + 1 |
|
|
|
|
Находим отсюда и(р): |
|
|
|
|
— |
р 2+ 1 |
^4 |
Вр + С |
1 |
2р |
U ^ |
Р ( Р 2— 1) |
Р |
Р2— 1 |
Р + |
/>2— 1 |
Следовательно,
и{х) = 2 ch х — 1.
2)м= —1 + —3 cos 2х.
3) и = Л-Х"-1 — |
д - я +х |
-------- ;— (л > 0). |
Л+ 1
4)и =/'(■*) + /(*)•
5)Р е ш е н и е . Преобразуем ядро данного уравнения:
|
*2 + Ш —7Р = |
8 (х - |
0 / + |
(х — iy, |
|
тогда сможем записать |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
х |
|
|
х 4 —■ [ (х — t)2 и (t) dt |
+ 8 ^ (дг — t) tu (t) dt. |
|||
|
о |
|
|
б |
|
Составляем операторное уравнение, учитывая при этом, что |
|||||
хи(х) |
— «'(/>). Получим: |
|
|
|
|
|
Л |
|
|
_8_ |
«' (Р)- |
|
|
|
р 2 |
||
|
Рь |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Здесь операторное уравнение есть линейное дифференциаль |
|||||
ное уравнение. Решая его, находим: |
|
||||
|
и(р) =■ |
С _ |
+ |
-4 |
|
|
|
|
|
3 Р2 ’ |
|
4
Р
194
Следовательно,
С
«(* ) = ~ х ' +
6)и ~ — . У к а з а н и е .
3
2*3— ЪхЧ + р = st (х — t y + 2 (* — t f .
Кроме того, учесть, что р2 не является изображением и поэтому
С=0.
109.1) Р е ш е и и е. Операторное уравнение здесь будет
|
|
Р___ |
, |
1 |
_ |
|
и(р) = ■Р2 + 9 |
Р + |
и{р). |
||
|
|
|
1 |
||
|
Решая его, получим |
|
|
|
|
|
— |
р + 1 |
cos 3* |
+ |
1 |
|
м (р) ==------------ - » |
— - sin Зх. |
|||
|
|
р2 + 9 |
• |
|
3 |
2) |
1 |
(13 sin 2* — 16 sh х). |
|
|
|
и = - |
|
|
|||
|
15 |
|
|
|
|
3) |
и = - |
(41 cos 5* — 7 ch Зх). |
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
4) |
и = |
(п + 1) (я -р 2) |
|
|
|
|
|
|
|
||
* 6
5) и = х ъ -р
~20~
6)и — J / 0(/) dt.
о
7)« = / 0 (х).
8)и = 1.
7 » |
195 |
9) Р е ш е н и е . Операторное уравнение здесь будет
|
|
|
|
Г ( л ) _ |
|
|
|
и ( р ) = F ( р ) + 1 |
и (р). |
||
Решая его, получим: |
|
|
|
||
|
Р(Р)-РП |
= F (р) + |
F(P) |
||
“ ( ^ ) = з г |
|
XT (л) |
|||
|
р'‘ — ХГ (п) |
|
|
- XT (л) |
|
Возможны два случая: |
|
||||
а) X < 0 . |
Тогда ХГ(л) = |
— ап, |
|
||
|
|
и — F |
|
рп -|- ап |
|
|
|
|
|
||
Решение удобно выразить с помощью синуса порядка п. |
|||||
Так как |
|
|
|
|
|
1 |
|
(х; 1, л ), |
|
то / (ах\ |
a" -i |
--------------н>- / |
|
1, л) <й------- ------- -— . |
|||
р п + 1 |
' J к |
|
|
р п + ап |
|
Следовательно, |
используя |
теорему |
умножения, получим: |
||
|
|
|
|
х |
|
и (х) = F (x ) — a J f ( x — t)f(at', 1, л) dt,
о
или, подставляя значение а, имеем:
u (x) = F (x ) — V - \ T (л) J F ( X - t ) f { y ~ — XT(n) t- 1, n)dt.
|
|
о |
|
б) |
X > 0. |
Тогда |
ХГ (л) = ап и действуя аналогич |
получим: |
|
х |
_____ |
|
|
и (х ) = F (х) +}/~ХГ (л) j" F (х — t) h [ y ХГ (л) t; 1, л ) dt,
о
где h W >-Г(л) t\ 1, л ) — первый гиперболический синус по рядка л.
196
10) |
Возможны два случая: а) Если \< 0 : |
|
|
||
|
|
_______ |
х |
_______ |
|
u = F (х) - |
ХГ (л ) |
[ F { x — t) eat f ( V |
— ХГ (я) t; |
1, ti)dt. |
|
б) Если \ |
> 0. |
О |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
_____ |
д: |
|
|
и = |
/7( ^ ) - 4 - / ’ХГ(л) |
j F ( x ~ t ) eath ( / " ХГ (л) 1, |
л) d7. |
||
*О
11)Возможны три случая:
л) X = 1:
дг
“ = ^(*) + ^ 1},- ^ (■*—О"-1^(Оdt.
<7) х > 1: |
|
|
|
|
и — F (х) + |
|
Л-1 |
|
|
|
|
|
|
|
в) X < 1: |
( Х - 1 ) |
Л |
о |
|
|
|
|
||
и =/=■(•*) + - |
л—1 |
|
||
|
|
|
||
|
|
(1 — X) |
п |
0 |
12) |
Возможны три случая: |
|
||
а) |
X = — 1: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
и — F (х)
(л-1)!
F ( х — t) h[t (к — 1)' 1,п] dt.
F ( x - t ) f [ t ( \ - l ) ‘ 1, и] dt.
( x — t)n~ i F ( t ) dt.
б) X > - |
1: |
|
« = /? < * )+ |
----------" П_ Г |
с н - * ) " ; 1, л] а'Л |
|
(1 + Х ) л |
О |
197
