Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 136
Скачиваний: 4
Г( л + 1 )
4)и — --------—’ х ^ ,
’Г ( 2 л + 1 )
XX
5)и = s h -------- - si n-- ------.
1/ 2 / 2
У к а з а н и е :
2’ 4 )" ‘h / |
r sln у ъ ' |
XX
6)и — c h -------- c o s ----------.
/ 2 |
/ 2 |
У к а з а н и е :
и ( р ) |
Р- |
-т>/(А-, 4, 4) = ch |
~ г |
c o s - / / |
= ■ ' |
||||
|
Р4 + 1 |
/ |
2 |
/ 2 |
7)и == — (ch х — cos х).
Ук а з а н и е :
Рл |
^ |
h(x, |
2, 4) =- — (ch х — cos х ) . |
и ( р ) |
|||
/И— 1 |
' |
V |
2 |
1
8)и — — (ch х + cos х).
Ук а з а н и е :
и { р ) |
Р|3 |
1 |
|
^ h ( x , 4, 4) = — (ch х + cos х). |
р*— 1
/ж
9)и = — xJ0(x).
207
10) |
a s — |
|
- ch |
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
___ |
\^<_го |
|
___ |
|
||||
|
2 |
|
|
|
У 2 |
|
У 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
115. 1) |
Р е ш е н и е . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
У < |
У р |
|
У71 |
|||
|
Ух |
|
Vр |
|
||||||
|
По теореме умножения имеем: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
у к |
- |
|
с |
|
|
откуда |
|
|
|
У— |
и (р) = — |
- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, |
|
и ( р ) = Укр |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
и (л) = |
УЗ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Г (гг + |
1) |
|
|
я+ а—3 |
|
|
|
||
2) |
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|||
гг = |
|
|
|
|
Г (п 4 - а ) |
|
|
|
||
|
Г (1 — а ) |
|
|
|
|
|
||||
з) |
1 |
f |
c o s ( x - t ) |
dt. |
|
|
|
|||
|
|
|
ут |
|
|
|
||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
/ |
1 |
|
|
|
sin ( х — t) |
dt . |
||
4) |
гг — |
уз |
|
|
|
ут |
||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
^"d |
|
5) |
ll==^ |
L |
У |
|
^ |
+ |
е У- еУ- |
t |
||
208
6) М= у .
7) и (х ).= J0 (2 V * )•
8) Р е ш е н и е . Операторное уравнение запишется так:
Г ( 1 — а) _
------— — м( р) = f ( p ) .
Находим а ( р ) , преобразуя его следующим образом:
и ( р ) = 7 ( р ) р г- а |
1 |
- - ■ |
1 |
1 |
|
|
|
|
Г (1 — я) |
Г (1 — а) |
|
|
|
|
|
на |
Используем теорему умножения, учитывая, что умножению |
||||||
р изображения |
соответствует |
дифференцирование |
оригинала |
||||
(причем в данном случае оригинал при |
х =0 |
будет |
нулем). |
||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
и (х) = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г (а) |
|
|
|
|
Г (1 — а) |
|
|
|
|
||
|
Имея в виду формулу дополнения для гамма-функцнн, по |
||||||
лучим окончательно: |
х |
|
|
|
|
||
|
|
sin атг |
|
|
|
|
|
|
и (х) ■ |
|
f ( x — t) f —'dt. |
|
|||
|
|
d x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
116. 1) |
Р е ш е н и е . |
Пусть у(р)-^> у ( х ) . |
Тогда |
операционное |
|||
уравнение будет таким: |
|
|
|
|
|||
|
РУ — 4 + |
Р |
|
|
|
|
|
|
Р2 + 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находя отсюда у(р), получим |
|
|
|
|||
|
4р3 |
i £ |
( 2 - V 2 ) Р | ( 2 + V" 2 )/7 |
||||
|
у ( р ) = |
2 |
р2 + У 7 |
П*-~ V 2 |
|
||
|
Pi |
|
|||||
209
Следовательно, искомое решение будет
» ( д г ) = ( 2 - У Т ) COS X V 2 + (2 + I / 2 ) c \ \ x V 2 .
2)У = \ («** + 2«“ 'Г)-
3)(/= — (cos х + sin х + е*).
4)«/ = х.
5) |
у — sin х. |
У к а з а н и е . |
1 |
|
|
|
— ^ > x J x(x). |
||||||
|
|
|
(р' + 1)1г |
' |
|
|
|
|
|
j |
__ 1 |
_ц |
__ |
6) |
у — х. У к а з а н и е . |
---------е |
р -±- х 2 |
/п (2]/~х ). |
||
|
|
|
рп+1 |
|
|
|
7) |
у = х sin х. |
|
|
|
|
|
8) |
у — 6 sh 2х . |
|
|
|
|
|
9) |
у = 2х sh х |
+ 3 ch х + |
cos х У |
3. |
|
|
10)у = sin
117. 1) у = |
С (4е“ х — 4x£~-f — Зе~'2х). |
||
2) |
у = |
e ~ v + |
С (cos -v — sin х + е~*). |
3) |
у = |
Суг~х cos х + С2 (2ej; + e_jr sin х ) . |
|
4) |
у — Ci {2х sh х -f 3 ch x + cos x У з ) -f C2^2x ch x + sh x + |
||
|
|
1 |
T .— |
|
+ ---- — sin x у 3 |
||
У з
210
5) у = * — ( е ^ + 3е~2х- ■4е~х) + С, (8е- -с + ёл х . -Зе_ м ) +
+С3 sh 2х.
118.1) Р е ш е н и е . Операционные уравнения будут
|
оу —pz + 1 + у + |
~ г- = 0 . |
|
|
|
|
Р — 1 |
|
|
Определяя из этой системы у |
и г и переходя |
к оригиналам, |
||
. получим |
— 2р3 -р 3^2 — 1 |
1 . |
|
|
ц= |
|
|||
--------------------------------= |
— —+ х = ц (х ), |
|||
у |
/>»(— 2/>3 + 3^2— 1) |
Pi |
• |
|
- |
— 2р1 + р 3 + р 2 |
1 |
■ х |
/ л |
Z ~ p H — 2р 3 + Зр2_ 1) “ о — \~те |
|
|||
2 ) у = х , |
z — ех . |
|
|
|
|
х |
|
|
|
3) у = cos— , г = cos — . |
|
|
|
|
2
4)(/ = x2 + 2, z — l — х .
119. 1) |
При y(0) = 1, имеем периодическое решение у(х) = cosх. |
||
2) |
|
1 |
уравнение имеет периодиче |
При у (0) =: 0, у ’(0) = ——, |
|||
|
|
5 |
|
|
ское решение у ~ |
-g -sin j:. |
|
3) При y f(0) = —i, имеем периодическое решение |
|||
|
t/ (Jf) = |
<°) — |
sln 2 Рлг, |
причем у(0) — произвольно. |
|
||
211
