Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

у ( х ) = 2 cos 2х +

у' (0) sin 2л:,

sin х +

3У' (0 ) - 1

sin 2л: ,

2

причем у'(0) — произвольно.

имеет однопараметрнче-

120. 1) При

условии,

что г(0) = 1, система

ское семейство периодических решений

16

,

5

х

+ ~

8

5

' =

2 5 ^

-----A cos —

5

sin ~Г” х ,

+ 25

2

2

5

2

,

,

5

: cos —

х — —- A

sin

~ ~ х ,

2

5

2

Раздел

пятый

121. Р е ш е н и е .

5 =

2

(±

!) " ? ( « ) =

2

(±

] )n ] e~ nXf ( x ) dx

п—т

п —тп

0 .

=

J / W

2

<±

i) B«-ftr**;

О

л*=т

2

(±

1)в '

( ±

1)те~ тх

1 т

г- *

п—т

Следовательно,

5 =

2

<± ^)п 9(п) = ( ±

1Г

^

f ( x ) e

■dx.

1

п~т

Т е

122. Р е ш е н и е .

5 W

= 2

'P (« )'F « W =

2

v » w

] e ~ ntf V ) d t - -

я= 0

n=0

0

(

OO

V

2

( jr)e - B' =

A').

n-0

Следовательно,

CO

OO

S ( jc) = 2 ? ( « ) ^ n W =

x ) d t .

n=0

0

123.

1)

Р е ш е н и е .

В данном случае

т — 1, <р

( п )

2)

п ( п + 1)(л +

Следовательно,

1

—

■

-2х

'

f{p)f=-

------------------------ f ( x ) =

■‘-Х+Т в

Р ( Р +

1)(Р + 2) '

2

В соответствии с формулой примера 121

( i

,

1

d x — -

е - 2х\ е ~ х

^

п ( п + 1) (п + 2)

J

1 — в~

л-1

о

2)

S --

5 — тс — 2 In 2

12

3) 5 =

Зтг — 6 In 2 — 5

18

'

4 )

5 = т

-

10) Здесь

m = 1, <f>(n)=arctg

1

Л2 + п + 1

Воспользуемся формулой

_______k(b — а)_______

arctg —

arctg

arctg

(а + b)p + ft2 + ab

р 2 +

р + а

P + b

В данном случае имеем:

? ( Р ) =

arctg -

- 1

• = arctg — — arctg --------—

р 2 + р + 1

Р

Р + 1

Следовательно,

/( х ) =

sin х

sin х

(1 — е х) sin х

Поэтому

ч

-

■ d x — —

(см. пример 96

п.

4).

И )

S =

12)

У к а з а н и е .

Использовать равенство

arc tg

2/7 +

3

=

arc tg

1

+ arctg -

-----------------Р‘ + 3/7 +

ё

1

К р + 2

13) S =

г.

— .

’

2

14)

5 :

124. 1)

Р е ш е н и е .

Согласно формуле,

приведенной

в примере 122,

н формуле (*)

имеем:

?(« ) =

1

(х) =

sin пх, f { t ) = sh t

и

1

F (t , x ) =

Fh0(t,

x) — ts m x - -

212sin x cos x —

sin x

1 — 21 cos x + P

Следовательно,

S ( x )

2e 2<s i n x c o s x — g

sin x

s h t ---------------- —-------------- — ------ dt

1 — 2e

1cos x + e

u

1

c

(1 — i/2)(s in 2x — у cos x)

dy ■

2

J

у2 — 2y cos x +

1

о

2 sin x { y — cos x)

у sin X —

1

y2 — 2t/ cos x +

— —

sin X — sin X- In 2 sin

4

2)

5 (х)

1

1

X — It

—- 4- —

cos x 4 - ---------- sin x.

2

4

2

3)

S ( x ) .

JC

I

д;

x cos2 —

— sin x In 2 cos —

2

I

2

4) S ( x )

sin x + (1 + cos x) in

2 cos -

5)

S (x )

== (sin x +

sin 2x) in

2 cos ■