Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

9) 5 (x) = ~

j^ln I ctg(—

x

— sin л: In | 2 cos x] + x cos x

4 '

2

10) S ( x )

j^-^- — jc sin x

— cos лг In | 2 cos x \

1 1 ) 5

3

sin X + ( x —

*

( at) —- —

~) s in 2

12)

„

x

5 (x) — — cos x + (1 — cos x) In 2 sin —

2

v

8

3

14) S ( a) = —

1 -f sin a:

+ — In

125. 1) Р е ш е н и е .

Дифференцируя

данный ряд последовательно

четыре раза,

получим

5 ' (а) =

sin пх

cos п х

гР

, S " ( a ) ^ - £

Л2

п~\

п =1

sin пх

т \т

cos пх.

E4 = 1 - Г - ' s

4 = 1

p * S ( p ) ~ p 3 S (0)

— pS" (0) =; —

2Р

Отсюда

S" (0)

тс

1

5 (0)

« ( / ’)=--— i -L

+

— r L +

2р*

2рь

Следовательно,

*2

Т.хЗ

х4

( 1)

5 ( т ) = 5 ( 0 ) | у Г ( 0 ) +

12

48

4

12

о

Интегрируя

(1) по х в пределах от 0 до я, получим:

ZS (0)

г.5

т:5

—

= 0 ,

откуда

5 (0) =

-----

18

48

240

J

w

90

Поэтому

cos я *

8zT — 60z.2x2 +

60zx3 — 15x4

2

= 5 ( х ) :

720

и4

п=1

COS /2Х

3x2 _

б^х +

2т?

r 2

1

п2

12

:

2

П 2

6

Я = 1

со

sin их

х3 — Зъх2 -f 2ti2x

5

(х);

3 ) ^

цЗ

12

’

Ё(2<—л —о

п- 1

7I3

1)з

з Г ‘

4) Р е ш е н и е

S ( x )

= £

cos пх

S'(x) = - £

л sin ял:

Г& — &

л2 — а2

»= 1

’

л-1

%

л2 cos ях

S" w = - Z

^ 5 (х )Я х =

0; S'(0) = 0;

Л2 — Я2

Я =1

о

5" (х) + я25 (х) =

— ^

cos п х ’

—

— —

8(х).

Л—1

2

2

W

Задача свелась к решению дифференциального уравнения

S" (х) + я25 (х) = ■2

2 -8 (х).

Применяя операционный метод решения, получим

sin яте — яте cos й (те — х)

5 (х) =

2я2 sin яте

1 — йте ctg йте

> -------------= 5 (0 ) =

2я2

л2 - я2

л-1

яте ch Я (те — х) — sh йте

5) 5 (х )

2й2 sh йте

1

яте ch яте — sh яте

л2 4- а2

5 (0 ):

2а2•sh яте

л - 1

( ~ l

) n

5(0) =

a~ — sh ат.

n2 +

а2

2a2 sh ат.

л-1

126. 1)

Р е ш е н и е .

Будем

искать

изображение

данной

периодиче­

ской функции f(x)

по формуле

сг ( п\

__

(0 <

X <

1),

T (p )= s-Т З ^

г -

где

=

( 1 < х ) .

Получим

g ( P ) =

6 — бй1-•р — Ъре—р — Зр2е~р — р ъе~Р

pi

Так

как g( 0) =

~ ,

то g ( p ) — аналитическая

функция. Со­

гласно

теореме обращения

и

теории вычетов, имеем

1

с

оР*

р)

,

1 £ epjf£ ( p )

,

ерх g (

вычеты функции Ф (р) =

е (р )

по этим точкам. Функция

-е~ Р

1