Файл: Шелковников Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению учебное пособие для студентов вузов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.04.2024

Просмотров: 134

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При k =

3 + 3kra — 2k2rJ

+

1, 2, 3 , . . . R es+ Ф ( р ) = ------- 7ZTT:-------( c o s 2 to

+ / sin 2knx).

4k3nse

 

_ — 3 + 3Ы + 2k2r2

При A =

— 1, —2, - 3 , ... Res_<t>(p)

X

 

4k37i3i

 

X (cos 2kxx — i sin 2k%x).

Складывая два последних выражения, получим

 

 

 

 

 

 

3 cos 2krix

(3 — 2fe2it2) sin 2kr.x

Res+ Ф ( p) + Res Ф ( p) = ----- —

----- +

-----------—

----------■

Следовательно,

f ( x ) — ^

 

Res Ф ( p) =

Res0 Ф (p ) +

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

I

00

cos 2k-x

ftS-i

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

[Res+. Ф(р) + R es- Ф (p)] = —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

й2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

1

 

v^,

3 — 2k№

 

 

 

 

 

-----

>

-------------sin 2£-x.

 

 

 

 

 

2ti3

^

 

 

*3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

■г--, (— ])k cos 2£^л:

 

 

 

2) / ( * ) = — + —

V

 

 

k2

 

 

 

 

v

12 Т.2

Л-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*=i

 

 

 

 

 

 

 

3)

/ ( x ) =: e2a"

eOT sh ar. /

1

 

« cos2^t.x —^ sin 2feA:

= ---: ----- I

i

T +

2 2 - , —

a2 +

№

 

 

 

 

 

я

 

a

s - i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

f ( x ) =

arcsln (sin x) ■

 

 

 

(— 1)* sin (2fe -f

i ) x

 

 

 

 

(2k +

l )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fe=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У к а з а н и е .

 

При решении примера учесть, что изображе­

ние arcsin

(sin х)

имеет вид

 

 

 

 

 

 

PIL\2

4

arcsin (sin x) <f

P2

1 f e~ %P

к^ sin 2kx

5) f ( x ) = arcctg (ctg x) = — — 2 ^ -- ~— * - 1

У к а з а н и е .

1 - e - %P - р ъ е ~ * Р

arcctg (ctg x )

 

P Q - e - ' P )

 

127. Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ф (p) — изображение

функции

e ~ x f(x). В соответствии с теоремой смещения и теоремой

Эфроса

имеем:

 

 

 

И Р )

= ? ( Р +

]):

 

^ / 0 (2 V x t ) e -

<

— j ;

О

 

 

F{x) = ex ^ / 0 ( 2 / л 7)

 

 

p — i

\ p -

 

C другой стороны (учитывая пример 28):

уъ ( Р - 1 ) пк+т

0 — 1 Д п — 1/

nnk+m+l

akLnk+m (■*)•

A-0

*=0

P

2 22

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

^а ф п к ^т < < х ) = F { x ) ^

ex \^J0 { 2 V x t ) е

и

6= 0

 

 

 

 

 

 

 

Ф ( Р):

P - 1 '<Р

 

 

 

 

 

 

 

130. 1) Воспользуемся обозначениями и соотношением

 

 

 

 

1

 

/

р

 

Ф ^ ) = ^ - Г 7 - ' Ч Т З Г

 

примера 127. В данном случае имеем

 

.

ч .

г ,

, ч

 

 

Lk(x)

 

Ф( p ) ^ F - ( x ) = 2 * ~ ^ Г -

 

 

 

 

 

 

6 - 0

 

 

/

( *

) -

£

 

akk\

 

 

 

 

 

6 =

0

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H p )*=—

—l

,

т

( ^

т ) !

a ( p — О

 

p (a — 1) +

1

p ■

a

 

 

 

 

 

 

Ф { Р ) :

a

 

 

 

> f W

Л — 1

a -1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

то

M * )

=

a

g7T

 

 

 

Z6=0

aK

 

a-

 

 

223

во

2) s w - S l j r - ' ' 'Л 2 К Г 1,

k=0

3)5 (x) = •

л!

4)

5 (x)

1

~

(

X

x

\

= —

e

(^cos —

+ sin у

J

5)

S (x)

— —

ch2x.

У к а з а н и е . Рассмотреть вспомо-

 

 

e

 

 

 

 

 

гательную функцию

Vx ft=0 Vx-{2k)\

и использовать пример 128.

1

6)S (х) = х— -sh 2х.

7)5 (х) = e-cos 2л:.

8)5 (х) = e-sin 2х .

131.1) Р е ш е н и е . Воспользуемся обозначениями и соотношениями примера 127. В данном случае

т

/4 *) = л™ = 2 akLk {x). k=о

Подлежат определению коэффициенты а*. Они могут быть найдены из разложения

т

хк

224

и соотношения

■Ф(р) = -

 

• ср

(т^ О -

 

р — 1 \ р

 

 

Из этого соотношения следует, что

 

?(Р) = — ~ - Ф ( — — -)•

 

Р ~ 1

\ Р — 1. /

 

 

Так как

 

 

т\

 

 

F(x) = х т +-

 

ф ( р ).

pfn +1

 

 

 

 

 

 

то

 

 

 

 

 

 

m!

(р — l) m

ml

Lm ( x ) = f ( x )

?(/>) =

nffl+l

 

 

(см. пример 27).

 

 

 

 

 

 

£ « (* ) = £

 

(— i)*c5

й!

 

*=о

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

т

 

 

■к

 

 

/ w = 2

 

 

 

с»

 

с»тг-

 

Таким образом,

т

:= 2 ( - 0 ^ ! C*,L*(*)- *=о

2) ^ = - 2

й=0

132. 1) Д о к а з а т е л ь с т в о . Известно, что (см. при,мер 10)

8—1931

225

IVp2+1—p)n

Jn{x)

V p 2 + 1

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

hb (-*)

v

У р2+1~p) k

 

 

 

 

Й—I

 

 

h

v 7 + i

 

 

 

 

 

 

( V p 2 +

1 — p ? _______

Vp2+1—p

 

 

 

V p 2 +

i [i — i V p 2+

1 —p )2]

 

2pVp2+1

 

 

 

 

 

 

 

V p 2

 

■П - M x ) }■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел шестой

 

 

 

133.

1)

 

Р е ш е н и е .

Изображение f (р)

функции f \ x ] — 1 опре­

 

 

 

деляется

рядом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дг=0

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

Изображение у ( р )

функции f [ x \ =

x

определяется ря­

 

 

 

дом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?(/>) =

хе - Р * .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х=0

 

 

 

 

Сумма

этого

ряда

находится с помощью

формулы сумми-

рования

по

частям.

В данном

случае а [х\

 

е ~ Р х

= х, v [х] = — ------- ,

а =

О,

b = оо.

 

 

 

 

 

 

 

е~" —1

 

 

 

 

 

 

 

 

226

 

xe~px

g-p(*+i)

__ 1___

e - p x =

eP

V ' xe~Px =

 

e-P — \

eP - 1 2

 

x—0

e-P — 1

{eP— l)2

 

 

x=0

 

 

 

Следовательно,

/ [ x ] = Ar«f

eP

 

 

 

 

 

 

 

 

{eP— Ip '

 

 

3)

(*>p +

1)

У к а з а н и е .

Применить

теорему

диф

------------------ .

 

{fiP

1

 

 

 

преды

ференцирования изображения и использовать результат

дущ его

примера.

 

 

 

 

 

еР ( g 2 Р +

4 еР + 1 )

 

 

 

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

П)

1 2)

{еР— \ у

и! ер

(еР — l)n+! '

п! eP (1 + пеР) (еР _ 1 )« + 2

еР еР — еа еР

еР — а

ер sin q

е2Р.— 2ер cos q + 1

е2р — ер cos q ew .— 2ер cos q + 1

ep sh q

фР — 2ep ch q + 1 e2P — eP ch q

eiP — 2ep ch q -f 1

227

Смотрите также файлы