Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

W = J

Mdr

(11.33)

Uk (i - t,*)(i -

x v ) ’

где М — вещественное постоянное. Подстановкой

приведём его к виду

Мт, = Z

(11.34)

, \

Г

dZ-

,

(11.35)

u(z)=

\

. ---------

Интеграл (11.35)

отличается

от

интеграла

(11.18)

двумя

пара­

метрами

С и £ вместо одного к.

Обращением интеграла

(11.35)

является

функция

Z — F (и),

которая

отличается

от функции

z =

sn и масштабом в плоскости

и (см. ниже) и тем,

что функция

£ (и) допускает свободный выбор

обоих

периодов:

вещественного

4

и мнимого 2^2- При данных периодах

и 2о>2 функции z =

=- sn и можно всегда подобрать

такие значения М и >. (или С и £),

при которых

fii =

Q, = ш2,

(11.36)

п

где

п — целое вещественное число.

При этом Z = F (и) является вполне определённой функцией

от

г = sn и. Рассмотрим

параллелограмм периодов функции

Z — F (и).

Если при и = 0 и Z — 0 —

> 0,

то при

этом Z = 0

и — >

О

d u .

du

(рис. 11.4). Если при

и — 0

и Z =

d,Z,

1

=

0, — <

0, то при этом Z = —

du

С

= М и —

< 0

(рис. 11.4).

В последнем случае все нули

и

полю-

du

первому

случаю

на

2 ,

и

вместо

сы смещаются по отношению к

F (и) надо

брать F (и +

На основании

4

свойства

эллипти­

ческих функций можно написать следующие равенства:

п=3

sn

и =

— s:i ( — •и ),

( 1 1 .3 7 )

sn (иц - f и) = sn (а>г — и), ( 1 1 .3 7 ')

sn (К-г и) = sn (К — и), ( 1 1 .3 7 " )

так как левые и правые части этих

равенств имеют одинаковые нули и

полюсы и совпадают

при

и — «ц,

и = К

или

и — 0.

Если

в равен­

стве (11.37) заменить и на н +

«ц,

ц

2w,

то получим

З и ,

4Ы ,

sn (и

2иц) =

— sn и.

(11.38)

Рис. 11.5. Параллелограмм пери­

На

основании

(11.36),

перио­

одов функции z=sn (п), содержа­

щий п параллелограммов перио­

ды 4«i

и

2ч)2функции sn и будут

дов Z =

F

(и).

также,

периодами

функции

Z

--

= F (и),

причём в одном периоде 4и>;

содержится п примитивных периодов 42 1

4wi

о

= -—, каждый из которых

имеет два простых нуля и

два простых

полюса

функции

F (и).

Следовательно, в параллелограмме функции

sn и,

функция

F (и)

имеет 2п простых нулей

и 2п

простых

полюсов (рис. 11.5)

для

п = 3.

Эти нули расположены в

точках

и =

2vo),

а полюсы в точ­

—

,

ках и

2vti

+ ш*

где v =

0,

1,2 . . . (2ц -

1).

Покажем, что F(u) может

быть представлена в виде

F(u) = П—1

Ф(ц)

(11.39)

>

р

П Ч

т 1 )

г д е Ф (и) = /' ( u )f ( п +

/ ( и + ^

.

функции sn и 2п простых

нулей в точках и —

и 2п простых

п

полюсов в точках и = —^

-f- <»2, где v = 0,1,2,

. .. (2п — 1).

Каж­

дый из множителей функции Ф(«) имеет два простых нуля

и два

простых полюса,

причём вершины параллелограммов этих множите-

лей сдвинуты на

2 v

— «ц. Очевидно, что параллелограмм периодов

Р 1 Ф (и)

(11.40)

sn и

и —0

полагая,

что

и-*0. При этом

f' (0)->1, р

1ФД0) =

-’г 1

и К,(0) =

= + 1,

т. е.

отношение (11.40)

при « ^ 0

стремится

к

единице,

на п частей. Определим

модуль

функции

F(u), ~к=

Е М = — .

Из рис. 11.4 видно,

что при нечётных

значениях

С

п,

) - 7 Г

(11.41)

И

F(9.1 + Q,) = f ( ^

+

« « , ) =

- j

(11.42)

Тогда, применяя формулу (11.39), получим

п—1

_Е

п - С -

^

‘ 0

^=0

(11.43)

Л

п • 1

С

- f

1

2 v

)

П s n (

' Ш1_Г Ш2

С другой стороны, справедливо

равенство

Sn U Stl (и -f- <о2) = Sn u>i Sn (u)x + (u2)

=

(11.44)

Действительно, функция

(11.44)

не

имеет

нулей и полюсов,

так

как

там,

где sn и имеет

нуль, sn (и + и>2) имеет

полюс

и на­

оборот,

и кроме того, обе части равенства

(11.44)

совпадают при

м =

иц. Применяя равенство

(11.44)

к

выражению (11.43), получим

гг—1

х =

п ч

М‘

2" ^'

- )

V = 0

1/Х = Vk" П sn ( 2-

^

*)•

(11 -45)

Учитывая,

что периодом функции sn ( — \

является —

в про-

\

п

I

п

причём,

если

п— число

нечётное,

то

оставшийся

необъединённым

средний

множитель вида sn ^ —

j

равен единице.

Тогда выраже­

ние (11.45) примет вид

ГС—1

2

1/Х =

]/(Т у г Р|

sn2 J ^ -—- к ) •

(11.46)

»=о

Для преобразования формулы (11.39) к более

удобному

виду,

можно воспользоваться

равенством1)

sn (и 4- v) sn (ы

У)

=

- ^

= ^ Г .

(11.47)

1 — k2sn2 и sn2u

Учитывая (11.38), формула

(11.39)

может быть записана

в виде

ГС—1

F(u) = (

1) 2 р~хsn и (^[ sn ^ «4- —

sn

1

(П-48)

*=i

1) Для доказательства

этого равенства достаточно убедиться в том,

что ле­

вая и правая его части совпадают для и = 0 и имеют простые нули в

точках

и = + и +

2 ficoj 4- 2>ш2 и простые полюсы в точках и = + о 4- 2 [J.m,4- (2 ■» -J- 1)

где р и v — целые числа.

Действительно,

выражение

(11.39) содержит п множителей и

после вынесения sn и за знак произведения

под этим

знаком

оста­

нется п— 1 (чётное

число)

множителей,

из

которых

первые ~~~

имеют вид sn

м +

— - + 2j>x

,

а

вторые

-------

множители—

V

л

I

2

sn

------—

+ 2 и ) ^ .

В

силу

(11.38)

они

приводятся к

виду

— sn ^ п—

. Тогда, применяя

равенство

(11.47), получим

п—1

/2 ма-Д

2

sn 2

( ^ г ) - 8ПМ

F (и) = р

1sn и Л

(11.49)

*

*

/ 2

v ( o , \

>

>=1 1— X2s n ( ------ J sn2 и

где

множитель р~1, с

учётом соотношения

(11.37)

имеет вид

Л—1

/ Г 1 =

[ ] s n * ( ^ p ) .

(11.50)

V -1

Возвращаясь к переменной ?]=

—

и

обозначая

новую эллипти-

М

ческую функцию tj

через зп

означает

уменьшение

п-Л

1-

sn* и

2

sn- ( т * )

sn (— , х ^ = — sn и П

(11.51)

\ М

)

М

, 2 v \

и

= 1

1 — к2 sn: \ т кГ

4— В. В. ШТАГЕР

49