Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

u)2] остаётся постоянным, и учитывая, что R (<«) имеет в заданном промежутке производную одного знака, приходим к выводу, что

взвешенная разность K(f). —R должна достигать своего м’акси-

м

141

точках о>, и

и>2, являющихся грани-

мального значения т

в двух

цами промежутка.

 

 

 

 

Совместное решение двух

уравнений

 

1

|R— Rc |=

М при

ш =

1

 

 

 

(10.3)

 

 

•М при о) = о)2

\Zc.

 

 

 

 

 

 

приводит к определению искомой величины

 

r - Rci lZgal +

Rca

(Ю.4)

 

 

l^ll +

I

 

Мы рассмотрели простейший случай приближения непрерывной функции посредством полинома. В белее сложных задачах подобно­ го типа может возникнуть необходимость приближения непрерыв­ ной функции полиномом любой заданной степени.

11. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Общие определения и свойства эллиптических функций

Эллиптическими функциями называются мероморфные1) двояко­ периодические функции с периодами 2 ш и 2 о/, отношение которых есть мнимое число. Такие функции удовлетворяют условиям

 

 

и ^

* -*■

 

 

/ (г + 2 тсо + 2 т ш') =

f (z),

 

где т и п — любые целые

числа, положительные, отрицательные

или нули. Ввиду

того, что

отношение х = . — есть мнимое

число,

ТОЧКИ

 

 

о)

 

Z0 -f- 2 ш,

Zq-f- 2 ш -f- 2 u>, Zq-f- 2 <o

 

za,

 

представляют собой вершины некоторого параллелограмма (рис.

11. 1),

называемого фундаментальным (основным) параллелограммом. Прида­ вая числам т и п * всевозможные целые значения, получим сеть

параллелограммов, покрывающих всю

плоскость. Периоды 2 и> и 2 »>'

в отличие от периодов 2т ш и 2п и/

называются примитивными.

*) Мероморфными называют однозначные аналитические (т. е. имеющие ко­ нечную производную во всякой точке из данной области) функции комплексного переменного, которые на конечном расстоянии из особых точек имеют лишь полюсы.

36

Для того чтобы любые два параллелограмма не имели, общих точек условно причисляют каждому параллелограмму из его границ лишь нижнюю его стсрсну, за исключением её правого конца, и левую сторону, за исключением её верхнего конца. Две другие стороны принадлежат смежным параллелограммам.

Отметим некоторые общие свойства эллиптических функций.

1.Производная эллиптичес­ кой функции есть также эллип­ тическая функция.

2.Эллиптическая функция, отличная от постоянного, имеет по крайней мере один полюс в параллелограмме периодов.

3.Если две эллиптические функции с одинаковыми перио­ дами имеют в параллелограмме

периодов

одни и те же

полюсы

с одинаковыми

главными

частя­

ми1),

то

они

отличаются лишь

постоянным

слагаемым.

 

4.

Если

две эллиптические функции с одинаковыми периода­

ми имеют в параллелограмме периодов одинаковые нули и полюсы одной и той же кратности, то сни отличаются лишь постоянным множи­ телем. Если две такие функции совпадают для некоторого значения,

не являющегося нулём или полюсом,

то они тождественно равны.

5. Сумма вычетов эллиптической

функции относительно

всех

полюсов, расположенных в параллелограмме периодов,

равна нулю.

6.

Эллиптическая функция принимает в параллелограмме периодов

всякое

значение (конечное и бесконечность) одинаковое

число

раз.

При этом, если f (г) принимает в параллелограмме периодов всякое

значение s раз, то сна называется эллиптической

функцией поряд­

ка s. Эллиптических функций первого порядка не

существует, так

как на основании свойства 5 не может существовать эллиптической функции, имеющей в параллелограмме периодов един простой полюс. Таким образом, s > 2.

7. Разность между суммой всех нулей и суммой всех полюсов эллиптической функции, расположенных в параллелограмме перио­ дов, равна некоторому её периоду

2

а* - 2 ?* =

2,м" + 2>ш''

(11Л)

к=1

I

 

 

 

г) Под главной частью полюса понимается часть

ряда Лорана,

содержащая

лишь отрицательные степени переменной,

если этот

ряд представляет

собой раз­

ложение функции в окрестности данного полюса. Другая, часть этого ряда, со­ держащая положительные степени переменней, называется правильной частью.

37

где

а.к— нули, а : $к— полюсы, расположенные в параллелограмме

периодов.

Если

;

 

функция

f (z)

с

периодами

2 л и 2т'

 

8.

эллиптическая

удовлетворяет соотношению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (z) =

— f {К — z),

 

 

( 11.2)

где

К — постоянное число, то

числа

 

 

 

 

 

 

— К,

— К +

—— К 4- со' и

— К +

и) 4- ш

(11.3)

 

 

2

2

2

 

2

 

 

 

являются нулями и полюсами функции f (Z).

 

1_ /С, получим

 

Действительно, полагая в (11.2), например,

z =

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

Д т Д — ' ( т 4

откуда следует, что — К. есть нуль или полюс функции /(г). Если

f{z) = — f (-— z), т. е. при выполнении (11.2), если К = 0, мы имеем нечётную эллиптическую функцию. Для такой функции точки г = 0 и точки, изображающие все периоды и все полупериоды, являются нулями или полюсами.

9.

Если эллиптическая

функция

f(z)

с периодами

2ш и 2и

удовлетворяет соотношению

 

 

 

 

 

f (z) =

f (К — г),

 

 

(11.4)

где К

постоянное число, то числа

 

 

 

 

у К, у К+т,

ш'

и у

К 4- « + о'

(П.5)

являются нулями и полюсами производной f'(z).

Действительно,

дифференцируя равенство (11.4), получим

соот­

ношение (11.2), для которого выполняется свойство 8.

 

Если К —0, то

f (z) = f (— г), т. е. f (г) — чётная

функция

и её

производная будет

иметь нули й полюсы в точках г — 0 и в

точ­

ках, изображающих все периоды и полупериоды.

 

 

10.

Эллиптическая функция второго порядка

представляет

бой обращение эллиптического интеграла первого рода. Р; ссмотрим это более подробно. Допустим, что мы имеем эллиптическую функ­

цию второго порядка с двумя простыми

различными

полюсами (32

и

в параллелограмме

периодов.

Если

f (z) = f (z2),

то z — =

= Z2— pg или z + zL3

+ Ра, откуда

 

 

 

 

f (z) — f (Рд +

P2

2).

 

38

Тогда, ввиду свойства 9, точки

bi

?1 + Ps

 

. + 1

и

_ f*i + Ps

I ..

 

О3

— --------

“р ^ И

Е«>'

(11.6)

будут нулями и полюсами производной /'(г), так как они являются полюсами первого порядка для f(z), а при дифференцировании порядок полюса повышается на единицу. Но точки и р2 яв­ ляются полюсами второго порядка производной f'(z). Следователь­ но, точки (11.6) должны быть нулями функции f'(z).

Рассмотрим функцию

F (z) = [/ (г) - f (6,)] \f(z) -

f (b2)J\ f(z)~ f (bs)\ [f (z) ~ f

(11.7)

Это эллиптическая функция восьмого порядка,

имеющая те же

периоды,

что

и f (г). Она имеет два полюса четвёртого

порядка в

точках 8j

и р2 и четыре нуля второго порядка

в точках

(11.6), так

как в этих точках функция

F (z) обращается

в

нуль

вместе

со

своей производной.

 

 

 

 

 

Функция

f'2(z) есть эллиптическая функция,

имеющая те

же

периоды, нули и полюсы (гой же кратности), что и функция F(z).

Следовательно, на основании свойства

4 функции

f '2(г) и F(z) от­

личаются лишь постоянным множителем

 

f'\z) = CF(z)

I

(11.8)

или

I.

Г ( г ) ^ У с Щ ) .

Если обозначить

f{z) = w\

(11.9)

CF (z) — R (w) j

то

C dw

(11.10)

J v RW)

где R(w) — полином четвёртой степени.

Интеграл (11.10) называется эллиптическим интегралом первого рода, а функция w = f(z) представляет собой обращение этого ин­ теграла и является эллиптической функцией второго порядка.

Мы рассмотрели случай, когда

^ Ф

Если ^ = р2,

то эллип­

тическая функция второго порядка

f (z)

имеет в точке

|5Х двойной

полюс. В этом случае

 

 

 

/ (z) = f (2?i — г),

( 11. 11)

39

а функция

f' (z)

имеет в точке (Зг полюс третьего порядка

и нули

в точках

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CLl = z

~{" ЧЦ,

П2 ~ р 1 -р

Пз = pi

Ч) 4- ч/.

 

(11.12)

Рассмотрим функцию

 

 

 

 

 

 

 

Ф (z) =

If (z) -

f (fll)l If (г) -

f Ы ] \f (z) -

f (Аз)I.

 

(11-13)

Это эллиптическая функция шестого порядка,

имеющая

те же

периоды,

что

и f (z),

полюс шестого порядка

в

точке

S,

и нули

второго

порядка в точках

аъ а2 и а3 (в этих точках она обращается

в нуль вместе со

своей

производной). Эта

функция

имеет те же

периоды,

нули и полюсы,

что

и функция /,2(г), следовательно,

 

 

 

 

 

/ ,2(г) = СФ (г)

 

 

 

(11.14)

 

 

обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (г) =

w )

 

 

 

 

(11.15)

 

 

 

 

СФ (г) = Rx(w) 1

 

 

 

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

dw

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.16)

 

 

 

 

 

 

J К

а д

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Ri (w) — полином

третьего

порядка относительно w.

 

Таким образом, и в этом случае эллиптическая функция второ­

го порядка

w = f (z)

представляет собой обращение эллиптического

интеграла первого

рода.

 

 

 

 

 

 

 

Эллиптические функции Якоби. Трактовка эллиптического интеграла первого рода в форме Лежандра

Среди всех эллиптических функций мы рассмотрим лишь функ­ ции второго порядка Якоби, которые применяются при решении чебышевских задач и задач Золотарёва. Это три функции

sn(u, т), сп (и, г) и dn(u,i),

где т = — , причём в этой записи иногда т опускают, либо пишут

СО

sn(n,£), выражая этим зависимость функции snи от некоторого комплексного числа k, называемого модулем. Примитивные периоды функций Якоби следующие:

для функции s n u — 4/( H i2/C',

« спи — 4/( и 2/СЧ12/С', « dnu — 2К и i4 К'.

40

Смотрите также файлы