Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 83

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Периоды этих функций не могут задаваться произвольно, мож-

но задавать лишь их отношение

К'

Таким образом,

 

sn(u -f

АтК +

2т \'К') =

sn и.

(11.17)

Функция sn и получается

в результате обращения эллиптическо­

го интеграла первого рода в форме Лежандра

 

Z

 

 

 

 

 

 

м = {

 

... —

-

— =

u(z).

(11.18)

,)/(1

-r2)(l — k»P)

 

к

о

 

 

 

 

 

 

Ввиду (11.17), интеграл (11.18) есть многозначная функция; причём многозначность получается лишь при разных путях интег­ рирования.

Величина

1

J / о -/* )(! - " т ~ К

(11Л9)

при условии, что интеграл берётся по прямолинейному пути, назы­ вается полным эллиптическим интегралом первого рода для модуля k, причём

0 < £ 3< 1 .

(11.20)

При этом т — чисто мнимое число, а К и К' вещественны. Ве­ личина К' также есть полный эллиптический интеграл первого рода

1

ш

= / v

- k'b’)

( 11.21)

причём k' называется дополнительным моду­ лем и вместе с k удо­ влетворяет условию

k* + k'%= \. (11.22)

 

 

V

- W jw<0

^ * >6 K*w>e

Вт

мним.

Вещ, ти и. .Вещ.

-к

-t

О *1

Рис. 11.2. Плоскость комплексного переменного z.

При k = 0 функция sn и превращается в круговой синус

lim sn(«, k) —sin«,

(11 23i

£-*o

 

 

v ' '

а при k = 1 в отношение гиперболических функций

 

lim sn(w, k) =

e a — e u

_ sn и

(11.24)

k~\

«* -f- e~~“

ch и

 

41

в чём можно убедиться, положив

limsn (u,k) = % k-*\

и произведя интегрирование по формуле (11.18)

%

 

1 , 1+£

 

— In---— .

о

2

1- е

 

 

Рассмотрим более подробно интеграл (11.18). Пусть 2есть ком­ плексное число, лежащее в верхней полуплоскости переменного г

(рис. 11.2). Знак радикала в (11.18) выберем так, чтобы — — + 1 dz

в точке 2 = 0.

 

Подынтегральная функция

 

_ 1

 

да = [(1 — ?2)(1 — k2t2)]~ 2,

(11.25)

имеет четыре особые точки, которые лежат на вещественной сси,

0-1= --- k , Й2= --- 1» а3 “

1’ — “f“ ^ •

(11.26)

Поэтому функция и (г) является голоморфной1) в верхней полу­ плоскости г и на вещественной оси за исключением течек (11.26), которые мы будем обходить по полуокружностям с малым радиу­ сом $, как показано на рис. 11.2. В соответствии с (11.25),

 

 

.

 

 

 

2-

 

 

1

 

 

 

 

w~l = k (t — \)T(t

 

\)Т (t — k~1) 2 (t 4 А ТУ -.

 

(11.27)

При обходе каждой из точек

г = t — аг, arg (t — а(.) не

изме­

няется

от 0 до — it,

при

этом arg аП1уменьшается на

 

a

arg w

увеличивается на —

. Посмотрим,

как

изменяется . функция

и (г)

при перемещении г вдоль вещественной

оси.

Когда

г

переме­

щается

от 2 = 0 до

2 =

1,

величина и

изменяется от

0 до зна­

чения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*dt '

 

 

 

 

 

 

(11.28)

 

« ( 1) = j /< \ - m

 

=

к ,

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*) Функция комплексного переменного

называется голоморфной

в

точке а,

если в окрестности этой

точки

она

разлагается

в

степенной

ряд

относительно

( г — а).

Функция, голоморфная в каждой

точке

области

G,

голоморфна

в этой

области.

Если функция в каждой точке области однозначна и имеет производную,

т. е. является аналитической, то она голоморфна.

42

оставаясь вещественной (рис. 11.3). При обходе точки г — I, функ-

ция и приобретает множитель е 2 . При перемещении z вправо

 

 

 

Рис.

11.3.

Образование параллелограмма периодов

 

 

 

 

функции и (г) в комплексной плоскости

 

 

от

1 до

k 1, функция и (г) изменяется

параллельно

мнимой оси

от

значения К До значения К +

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А-1

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К'

=

 

 

 

 

 

(11.29)

 

 

 

 

V (/2 — 1)(1 — k2i3)

 

 

или

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

■\К =

 

dt

 

 

 

 

(11.30)

 

 

 

 

у (1 -

12)(1 —kb2)

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

При

перемещении г

влево

от

г = 0

к

г =

— 1,

и {г)

остаётся

вещественной и изменяется от

0 до — К-

При

обходе точки г =

=

— 1,

и {г)

получает

 

 

—1—

и при перемещении z от

приращение е

2

— 1 до

k~l ,

и (z)

изменяется

от

— К до

— К + iК'- При

переме­

щении г от k~l до — k~l (через точку z = do), и (z) получает ве­ щественное отрицательное приращение (до < 0) от точки /С + Щ' до точки — /С Н- i/C/- В точке iК' находится отображение точки z = оо. Таким образом, в результате обхода верхней полуплсскссти г, мы получили заштрихованный прямоугольник на плоскости и. Это ото­ бражение однозначно и конформно1). Если взять два листа пло­ скости z и, надрезав их на участках от —- k~l до — 1 и от f- 1 до

+ k~l , соединить по линиям надреза так, чтобы точки а,, были точками разветвления, то мы получим двулистную поверхность*)

*) Конформным называется отображение с

помощью

аналитической функции

w = } (г), которое обладает в каждой точке z0

I/'(?„) Ф 0]

свойствами сохранения

(консерватизма) углов и постоянства растяжений. Конформное отображение

яв­

ляется отображением подобия в бесконечно малом (вблизи каждой точки,

где

Г(г)фО).

43

Римана и функция и (,г) будет однозначной. Воспользовавшись принципом аналитического продолжения Шварца, можно отобра­ жать заштрихованный прямоугольник относительно его сторон. В частности, отображение заштрихованного прямоугольника относи­ тельно вещественной оси соответствует продолжению нижней полу­ плоскости верхнего листа г относительно участка — 1 < z < -f- 1. Продолжению верхнего листа плоскости z на нижний лист отно­

сительно участка — 1 < z < k~l

' соответствует отображение пря­

моугольника

К - f iK',

— К Hr iК', — К — iК', К — iК'

относитель­

но стороны К —■iК',

К +

iК'- Таким образом, двулистная римансва

поверхность однозначно и конформно преобразуется

в прямоуголь­

ник периодов

функции sn и (рис. 11.3).

Если вместо

двулистной

взять

бесконечнолистную

риманову поверхность z с

точками

раз­

ветвления —

, — 1, +

1, +

1, то можно однозначно отобра­

зить её в плоскость и, которая

будет покрыта сеткой

прямоуголь­

ников

рассмотренного

вида. Из

такого

отображения

видно,

что

z(u) обладает свойством двоякопериодичности. Действительно, пря­

моугольник периодов (рис. 11.3)

имеет

два нуля

и два полюса

первых порядков. При продолжении

прямоугольника

периодов от­

носительно его правой стороны эти

нули

и полюсы

повторяются

через 4/(, а при продолжении его

относительно нижней стороны

— через

2\К'■

полуплоскость на прямоугольник,

Функция и {г), отображающая

является

частным случаем функции

 

 

г

 

 

 

w =.= ClJ(£ — яj)"1“ 1. . . (t

— a.nf n ^ ldt f C2,

(11.31)

 

о

 

 

с помощью которой верхняя полуплоскость z отображается на внутренность многоугольника. В выражении (11.31) ах, . . . , ая есть точки действительной оси, соответствующие вершинам много­ угольника, а С[ и С8- некоторые комплексные числа. Выражение (11.31) называется формулой Христоффеля— Шварца.

Если переписать (11.18) в виде

г

1

1

1

1 ,

U = k T l \{t— I ) 2

(М I) 2 (t

k~Y {t + k ~ y

dt, ( 11.32)

то видно, что это выражение представляет собой частный случай формулы Христоффеля—Шварца.

Трактовка интеграла (11.18), которую мы привели, позволяет лишь убедиться в том, что обращением эллиптического интеграла (11.18) является эллиптическая двоякопериодическая функция Яко­ би sn (и, k), имеющая в параллелограмме периодов два простых нуля, два простых полюса, и периодами которой являются 4X и 2iX', если К и К’ определяются формулами (11.28) и (11.29).

44

Смотрите также файлы