Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 78

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

( я + 2) тс. При этом функция R (х) принимает с чередующимися: знаками значение L в я + 2 точках промежутка [— 1,-flJ.

Следовательно, полином. Рп(х) действительно наименее уклоня­

ется от

х — а

-

1, Ч-

8.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО

 

ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СВОЙСТВ

ПОЛИНОМОВ

Экстремальные свойства полиномов рассматривали в своих трудах: Е. И. Золотарёв, В. А. Марков и А. А. Марков.

Если Чебышев определил полином, наименее уклоняющийся от нуля в промежутке [— 1,-fl'J и имеющий закреплённый старший коэффициент, то Золотарёв определил такой полином при закреп­ лении двух старших коэффициентов. Задача нахождения такого полинома носит название первой задачи Золотарёва. Полином с закреплёнными двумя старшими коэффициентами может быть за­ писан в виде

Р (X) = Хп ■—Па X

1-f- р 2Х

+ •••-]- Рт

(8.1)

где а — заданное вещественное

число.

 

 

 

Задача^ которую принято называть

второй

задачей

Золотарёва,

сводится к нахождению полинома степени

я с одним

(старшим),

закреплённым коэффициентом, который наименее уклоняется от нуля на двух промежутках: [— 1,— а] и [-j-1, -f-aj -

»=5-

6=0.106; fi=1.212-

Рис. 8.1. Графики полинома [Золотарёва yL для п = 5

при а < tg2

.

2 гг

Решение этих задач Золотарёва в общем случае может быть построено с помощью эллиптических функций, однако в некоторых частных случаях эти задачи решаются элементарно. В таблице 8.1 приведены решения этих задач для простейших случаев. На рис. 8. 1 приведены графики полинома Золотарёва пятой степени (ре­ шение первой задачи) для нескольких значений а.

31

Задачи

Золотарёва

Первая

Вторая

 

 

Т а б л и ц а 8.1

Р е ш е н и е

При условии

Уклонение

1

 

( 2 х ~ * + х

\

2 - 4

2 ; Н

и -p

г

 

8 — 1

„ .

 

= хп — п - — -

х '-р ....

 

 

. 2

 

 

L cos

п

2х2— 1—а2

arc cos

1 — Gt2

 

 

2

 

0 < a<tg2

,

2 п 1

2П-1 V 2 /

l< P < l+ 2 tg 2f 2п

п

п—чётное число

J - > о — > 2

В. А. Марков показал, что свойством

наименьшего уклонения

от нуля в заданном промежутке [— 1,+ 1]

обладает полином сте­

пени не выше л

 

Тп(4

а"

с произвольным закреплённым коэффициентом А" полиноме, если чётность л и р одинаковая. Если разная, то таким свойством обладает полином

Тп-х М

( 8.2)

при хр в этом чётность л и р

(8.3)

А™

Ввыражениях (8.2) и (8.3) Тп(х) и Тп1(х) — полиномы Чебы­

шева степени л и п— 1.

 

 

 

 

Наконец, А. А.

Марковым

доказана

теорема,

позволяющая

определить полином

степени

л,

наименее

уклоняющийся от нуля

в промежутке [— 1,+

lJ, коэффициенты которого связаны линейной

зависимостью

 

 

 

 

 

«о Ро + aiPi +

••• + «« Ря =

“ (а ^ 0 ).

(8.4)

9. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ПО

ПОЛИНОМАМ ЧЕБЫШЕВА

Всякая вещественная функция f (х), заданная и непрерывная в промежутке [— 1,+1]> удовлетворяющая условию Дени—Липшица, разлагается в равномерно сходящийся ряд по полиномам Чебышева

0 0

 

/(*) = А + 2 akTk(x),

(9.1)

32

причём коэффициенты А и ак могут быть вычислены по форму­ лам:

А = -

/ ( х) dx

(9.2)

(/П ^ Т 2’

 

 

а

 

(9.3)

Прежде чем сформулировать условие Дени—Липшица необхо­ димо дать некоторые определения. Модулем непрерывности ш(о) функции / (х) называется точная верхняя граница разности If(x2)— f(x!)|, имеющая место для двух любых точек xLи х2 промежутка

(а, Ь\, в котором функция f (х) задана при

|х2— х^[

3,

(9.4)

где 3—любое положительное число.

 

 

Таким образом, модуль непрерывности показывает,

насколько

могут различаться между ссбо i два значения функции, если соот­

ветствующие им значения аргумента различаются не

более чем на

3. Приведённое определение можно кратко записать

в виде:

“ (3) =

sup

|/ (х2) — f (хх)(.

(9.5)

 

l*f—*.1<5

 

 

Из определения модуля

непрерывности непосредственно выте­

кает следующее его свойство.

 

 

Для того чтобы функция f (х) была в промежутке \а,Ь] равно­

мерно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы

 

 

]imw(o) =

0.

(9.6)

 

8-0

 

 

Если / (х), заданная в промежутке [а,Ь), удовлетворяет неравен­

ству

 

< М \х2-

х £ (а > 0)

 

If (*,) -

f W

(9.7)

при всех х из этого промежутка, то говорят, что функция f(x) удовлетворяет условию Липшица с показателем а и коэффициен­ том М. Это условие записывается в виде

f(* )€ L ip M«.

 

 

Если неравенство (9.7) выполняется при любом М, то

пишут

f We Lip а.

 

(9.8)

Очевидно функция, удовлетворяющая

какому-нибудь

условию

Липшица, равномерно непрерывна. Если

условие Липшица выпол-

3 в. в. штагер

 

33

няется при а > 1, то f (х) есть величина постоянная. Это видно из следующего неравенства

 

f (*2) —/ (*1)

<

М |х2— х /

’(а >

1).

(9.9)

 

*2— *1

 

 

 

 

 

При х2-'-xL левая часть

неравенства

(9.9)

стремится к f (х),

а правая к

нулю, откуда следует, что f (х )= const. Следовательно,

а может заключаться в пределах

 

 

 

 

 

0 < я < 1.

 

 

 

Если выполняется равенство

 

 

 

 

Нт[а>(8) 1пй] = 0,

 

 

(9.10)

то говорят,

что функция /(х )

удовлетворяет условию

Дени— Лип­

шица. Это

условие выполняется для функций,

удовлетворяющих

условию Липшица любого порядка.

 

 

 

Практически почти все функции, равномерно непрерывные в про­

межутке \а,Ь], удовлетворяют

условию

Дени — Липшица и могут

быть разложены в этом промежутке в сходящийся ряд по полино­ мам Чебышева. Существуют однако и такие непрерывные функции, которые дают расходящиеся ряды, поэтому при разложении функ­ ций в ряд по полиномам Чебышева следует убедиться в выполнении условия Дени—Липшица.

Определение коэффициентов разложения по формулам (9.2) и (9.3) не вызывает затруднений. Но естественно встаёт вопрос: ка­ кова будет точность приближения, если ограничиться п первыми членами ряда (9.1).

Ответ на этот вопрос даётся в теореме Лебега, согласно которой частные суммы ряда (9.1), обозначаемые через Sn (х), удовлетворяют неравенству

ISn (х) — f (х)j < (3 + In п) Еп {п > 2),

(9.11)

где Еп— наилучшее приближение функции f (х), заданной в проме­ жутке [а,Ь] алгебраическими полиномами степени не выше п.

Если функция f (х) удовлетворяет поставленным условиям и имеет ограниченную производную, т. е.

i r w i c M , ,

то согласно теореме Джексона,

Еп<

(9.12)

 

П

и неравенство ( 10.12) принимает вид

| S ,(x )- f (x)j < ^

( 3 + 1п/г).

(9.13)

/

П

 

34

Таким образом, для каждого значения п мы имеем оценку пог­ решности приближения функции f (х) при её разложении в ряд по полиномам Чебышева.

10. ЗАДАЧА ПО ТЕХНИКЕ СВЯЗИ, ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ТЕОРЕМУ ЧЕБЫШЕВА О ПРИБЛИЖЕНИИ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ ПОСРЕДСТВОМ ПОЛИНОМА

Рассмотрим более подробно задачу Белецкого [ЛЗ] по опреде­ лению элементов балансного контура.

Необходимо найти значения элементов простейшего балансного контура, состоящего из активного сопротивления и конденсатора,

включённых

последовательно

 

[Z—R’-\----- -— ) ,

при. которых

обес-

 

 

 

 

 

 

'

i

ш С /

Запас

устойчивости

печивается максимальная устойчивость канала.

 

 

 

S =

1п-

Z — Zr

 

 

 

 

( 10. 1)

 

 

 

 

 

 

К(1)

 

 

 

 

 

где Zc— волновое сопротивление линии,

 

 

 

 

 

Z — сопротивление

балансного

контура,

 

 

 

 

In К (f) — величина

усиления усилителя в

неп, принимает на­

 

ибольшее значение, когда наибольшее

 

значение выра-

 

жения

KJJ)

Z - Z r

в рабочем

диапазоне

частот яв-

 

ляется

 

2

Z +Z,

 

 

 

 

 

 

 

 

наименьшим.

 

 

 

 

 

 

 

Если принять, что Z -f

Zc

2 Z„ и учесть,

что

модуль разности

| 2 - Z ,| = j

/ ( R - R c)‘ +

( ±

- x

ey

при прочих

равных услови­

ях будет наименьшим, когда

 

С —2 —10С° (это следует

из

выра­

жения волнового сопротивления линии: Zc —

i

1-f—1 /

 

Яп

 

 

х0

 

 

 

/

 

 

 

 

 

+

то -условие

наибольшей

устойчивости

— 1 -

 

2 to у/Z.Q С0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

запишется в виде

 

Ш \ R -R c\~0.

 

 

 

 

( 10. 2)

 

 

 

 

 

 

 

\2с\

Таким образом, необходимо найти наилучшее приближение функ­ ции Rc с помощью полинома нулевой степени (постоянной) R в за­ данном диапазоне частот.

На основании теоремы Чебышева взвешенная разность

]R —■

— должна достигать в заданном диапазоне частот своего наибольшего значения, не менее двух раз последовательно меняя знак. Полагая, что коэффициент усиления К («О в заданном диапазоне частот [ищ

3*

'

35

Смотрите также файлы