Файл: Засядкин Б.К. Оптимальное обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов. Диаграммы неопределенности (конспект лекций).pdf

От критерия наименьшего среднего риска легко можно перейти и к другим критериям, таким, как критерий отношения правдоподобия, Неймана — Пирсона, последовательного на­ блюдателя, которые будут рассмотрены ниже.

§ 3. Постановка задачи оптимального обнаружения радиолокационных сигналов

Наибольший интерес представляет собой анализ оптималь­ ной обработки радиолокационной информации, поступающей непосредственно на вход радиолокатора, так как частичная не­ оптимальная обработка может привести к необратимым поте­ рям полезной информации. Учитывая специфику работы радио­ локатора, колебания на входе приемника можно представить в виде:

смещение частоты и т. п.);

Pi, р2> ••• --- случайные параметры сигнала, измерение которых не представляет существенного интереса (например, амплитуда сигнала, общая начальная фаза принимаемого сигнала или совокупность случайных начальных фаз импульсных колебаний при некогеренгном излучении и т. п.),

Считаются известными статистичес^е характеристики слу­ чайных параметров и процессов:

—статистика помехи n(t);

—доопытные (априорные) вероятности Р (АХ) и Р(Л0) =

При этом должен быть установлен закон оптимальной обработ­ ки, т. е. совокупность математических правил, по которым для каждой принятой функции x(t) можно найти наиболее правдо­ подобный ответ о наличии или отсутствии полезного сигнала.

9

Наконец, следует оценить качественные показатели опти­ мальной математической обработки при обнаружении и рас­ смотреть пути ее технической реализации.

§ 4. Пример одномерного оптимального обнаружения

Рассмотрим простейший пример статистического подхода к задаче обнаружения. Пусть на стрелочный измеритель, показа­ ния которого характеризуются числом х (рис. 1), поступает либо сумма напряжений сигнала s и помехи п, так что показание при­

бора

решение о наличии или отсутствии цели. Это простейший вариант более общей задачи обнаружения, где вместо функций време­

метров. Запишем рассмотренное выше условие одним выраже­

ному значению величины х дать оценку А *, оптимальную с точ­ ки зрения критерия минимума среднего риска или эквивалент­ ного ему весового критерия.

Плотности вероятности случайной величины х при условиях

10

Любое закономерное решение задачи обнаружения может быть описано функцией решения А*(х), которая в зависимости от величины х принимает одно из двух значений: 0 или 1.

Одной из возможных функций решения будет функция, график которой приведен на рисунке 2,6. Если выбрать функ­ цию решения в таком виде, то решение о наличии сигнала при­ нимается в случае, если х0<х<х\. В этом случае условные вероятности D и F определяются как вероятности попадания случайной величины х в интервал Xo-fXi соответственно при условии «сигнал — помеха» или «помеха»:

D — \f(xjs)dx,

( 1. 20)

F = ^f(xj0)dx.

Эти вероятности соответствуют заштрихованным площадям под соответствующими кривыми.

Если ввести в общем случае произвольную функцию реше­ ния Л*(х), выражения для D и F можно записать в виде:

( 1. 21)

И

Эти соотношения справедливы для произвольной функции решения. Выражения (1.21) соответствуют рассмотренным выше выражениям (1.20). Действительно, участки оси х, для которых Л *(х )= 0, при интегрировании в бесконечных пределах все равно дадут нуль, а участки, для которых А*(х) = 1, соот­ ветствуют площадям под кривыми /(x/s) и /(х/0) подобно тому, как это показано на рис. 2,а.

большего подынтегрального выражения за счет подбора функ­ ции решения А*(х). Так как эта функция имеет только два зна­ чения (0 или 1), то за счет ее выбора подынтегральное выра­ жение либо обращается в нуль, либо умножается на единицу.

Наибольшего значения подынтегрального выражения для каждого х, а значит и всего интеграла в целом, можно достичь,

выражение отрицательно.

Поскольку плотность вероятности f(xf0) не является отри­ цательным числом, то оптимальное правило решения задачи обнаружения может быть записано в виде:

1, если А (х )> /0,

(1.23)

О, если А(х)<70.

бия. Оно представляет собой отношение плотностей вероят­ ности одной и той же реализации х при двух условиях: когда действует сигнал и помеха и когда действует только помеха.

Так как обе плотности вероятностей не являются отрица­ тельными числами, то и отношение правдоподобия не может выражаться отрицательным числом.

Итак, критерием оптимального обнаружения может слу­ жить критерий отношения правдоподобия, являющийся след­ ствием общего критерия минимума среднего риска.

12

Согласно критерию отношения правдоподобия решение о наличии сигнала принимается, если отношение правдоподобия превышает некоторую пороговую величину /0.

Этот критерий наиболее удобен для практических расчетов. Все приведенные выше рассуждения не основывались на конкретном законе распределения помехи, поэтому они пригод­

ны для произвольного закона распределения.

Рассмотрим теперь случай, когда помеха описывается цент­ ральным гауссовым распределением с дисперсией или

стандартным отклонением сгшЗная, что при отсутствии сигнала х=п, имеем:

В силу соотношения (1.19) можно записать: (Л-*)1

У2таш

Вэтом случае отношение правдоподобия будет:

(Л-5)«

13