Файл: Засядкин Б.К. Оптимальное обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов. Диаграммы неопределенности (конспект лекций).pdf

Скачать файл (2,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 07.04.2024

Просмотров: 31

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

показан на рис. 4. Из этого рисунка видно, что вероятность лож ной тревоги F при оптимальной функции решения соответствует площади под кривой f(xjO) правее абсциссы х0. Величину лг0 бу дем называть порогом.

При заданном уровне помех вероятность ложной тревоги зависит только от величины х0:

F = j* / (х'О) dx	1	!	е
	у 2^
J'o
	2	1-Ф			(1.28)
где Ф (и) — интеграл	вероятности.			выбирать	непосред
Это значит, что величину порога можно
ственно по заданному уровню вероятности ложной тревоги.
Подобный подход	наиболее удобен для			реального	проекти

рования аппаратуры, так как позволяет избежать необходи

мости учета	априорных (доопытных) данных			о наличии или
\| отсутствии сигнала. Вероятность		правильного		обнаружения D
соответствует	площади под кривой f(xjs)		правее абсциссы xq\
00		ZL	J e
		2
	о	d y -
	о		О
	1			(1.29)
	2			(1.29)
	2

При заданном уровне помех аш она зависит не только от порога Хо, но и от величины ожидаемого сигнала s. Зависи мость D(s) может быть построена качественно из анализа пло щади под кривой / (лг/s) и количественно в соответствии с соот ношением (1.29).

При s = 0 значение D = F, при s=Xo значение £> = 0,5, при s > Хо значение £)~1. Чем выше уровень порога х0, тем больше кривая D(s) сдвигается вправо. Это значит, что для обеспече ния той же вероятности D требуется больший уровень полез ного сигнала. Графическое изображение D(s) приведено на рис. 5. Эти кривые получили название кривых обнаружения.

Таким образом, на примере анализа одномерного опти мального обнаружение был установлен весьма важный критерий отношения правдо подобия. Из выражения для отношения правдоподобия бы ла найдена оптимальная функ ция решения Л*пт (х), соответ

ствующая в данном случае простому сравнению величи ны х с порогом Хо. Были по строены кривые обнаружения,

характеризующие качественные показатели! оптимального ружения при различных условиях работы обнаружителя.

[ л а в а 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИЗМЕРЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ

§ 1. Качественные показатели радиолокационных измерений

Критерием качества		проведенного измерения является
ошибка	в определении	измеряемой величины. Очевидно, чем
меньше	эта ошибка, тем выше качество измерений.

Ошибки измерений, как известно, делятся на грубые прома хи, систематические и случайные ошибки. Если исключить гру бые промахи и систематические ошибки, то ошибки измерений сводятся к случайным.

При измерении параметров радиолокационных сигналов случайные ошибки обусловлены действием помех на входе приемника, флуктуациями сигнала, а та'кже случайностями в поведении самой системы измерений.

Типичная кривая плотности вероятности /(г), характеризу ющая закон распределения случайных ошибок, приведена на рис. 6.

Вероятность ошибки, лежащей в интервале е + Де,	рав
на / (е) As. Вероятность того, что ошибка е по абсолютной	вели-

чине меньше е0, численно равна площади, заштрихованной на рисунке 7.

	^ (И < * o )= f/(•)* •				(2.1)
			—So
График зависимости		'f (ч )~ Р (\|е\|< го) показан на рис.			8. Из
этого	графика следует,	что	при достаточно	большом	значе
нии	е0 неравенство \|е\|<Сео		имеет вероятность,	близкую к еди
нице,	т. е. почти достоверно.

В качестве статистических параметров, характеризующих точность измерения, обычно рассматривают:

—среднюю квадратическую ошибку ескв;

—вероятную (срединную) ошибку sBep.

Для произвольного закона распределения случайных оши бок /( е) средняя квадратическая ошибка измерений опреде ляется из соотношения:

оо

в«в= J >аЖ * = в*-

(2.2)

Вероятная (срединная) ошибка евер находится из равенства:

р (Iе \| <	евер) = Р (\| ■в I >	е Вер )= 0,5,	(2. 3)
т. е. соответствует такому значению		е0, при котором заштрихо
ванная площадь на рис.	7 составляет половину всей		площади
под кривой /(е).

Наиболее распространенным законом распределения слу

чайных ошибок является нормальный закон, или закон			Гаусса:
Ж	1	е	(2.4)

2 Б. К. Засяякин	\| / ^ 2tte CKB
		Н	17
ГОС. ТАБЛИЧНАЯ	.
М Л учнО -ТЕХН И ЧЕС Н АИ	I *S \	v O

ЬиЁЛИО ТЕКА С С С Р ___

которому и соответствуют кривые, приведенные на рис. 6—8. При этом

					2в“
					ds
		Р(\г\<4)= I У-1ТЛ
			ео	Xй
		2	6	Xй
			СКВ	2
				2	dx= Ф		(2.5)
		уш			dx= Ф		(2.5)
		уш
где Ф (и) — интеграл вероятности;
и =	ео .
и =	е	’
	Сскв
^	в
	WCKB
Из сопоставления формул				(2.3) и (2.5) следует,			что
			Ф ( ~	Ь	° ’5-
Поскольку Ф(ы) = 0,5 при ы = 0,67 = 2/3, то для						нормального
закона			е вер ~ 2/3				(2.6)
			е вер ~ 2/3		SCKD,		(2.6)
так что.	зная среднюю квадратическую ошибку,					всегда можно
найти вероятную (срединную) ошибку.							о возмож
Таким		образом, наиболее		полное представление			о возмож

ных значениях случайной ошибки дает закон ее распределения. В качестве основного параметра, характеризующего точ ность измерений при нормальном законе, можно считать сред нюю квадратическую ошибку, связанную простым соотноше

нием с вероятной (срединной) ошибкой.

Исследовать условия оптимального измерения параметров радиолокационного сигнала с достаточно общих позиций позво ляет уже рассмотренное нами выше понятие среднего риска.

Любое	измерение обычно	связано с тем,	что	измеряемой
величине	я дается несколько	отличающаяся от нее оценка я*
(за счет чего и получается ошибка г= я*—я).
В случае измерения совокупность возможных ситуаций
соответствует совокупности различных значений			я	и я*. Каж

дая из возможных ситуаций характеризуется плотностью ве роятности ситуации /(я*, а) или дифференциалом

dP (а*, я) = /(я*, a) da* da,

причем

ПО

И в	атом случае, как и при					решении задачи обнаружения,
каждой	возможной			ситуации ставят			в соответствие некоторую
плату за		ошибку г (а*, а)			в зависимости от важности			или стои
мости этой ошибки.								выраже
Средний риск для случая измерения определяется
нием:
				: J г (а*,		а) dP (а*, а).		(2.8)
				(**. ’)
Стоимость ошибки в этом случае является функцией двух
переменных — г (а.*,				а).		измере
Если считать (например, при
нии дальности), что стоимость ошибки
измерения		зависит		только от		разности
измеряемой величины и ее оценки а*—а							г,
достаточно			задать	лишь	функцию		г (г)
одной переменной.
На рис. 9 показаны возможные графи
ки стоимости ошибки г(е) в функции вели
чины ошибки е.				приведена		кривая
На	рис.		9, а
г (г) — £2,		которая соответствует				случаю,
когда стоимость ошибки					равняется ква
драту-ошибки.
При этом, очевидно,

- 12 2 Г—£ —2СКВ,

т. е. средний риск равен квадрату сред ней квадратической ошибки, а минимум среднего риска соответствует минимуму 'средней квадратической ошибки.

О 6

Рчс. о

На рис. 9,6 приведена кривая r(e) - js|, соответствующая случаю, когда стоимость ошибки равна абсолютному значению (модулю) ошибки. В этом случае средний риск равен среднему

модулю ошибки г=|е|.

Минимум среднего риска в этом случае соответствует мини муму среднего модуля ошибки.

Кривая (рис. 9, в) соответствует случаю, когда