Файл: Засядкин Б.К. Оптимальное обнаружение и измерение параметров радиолокационных сигналов. Диаграммы неопределенности (конспект лекций).pdf

В этом случае средний риск равен вероятности того, что мо­ дуль ошибки превысит е0:

Анализ процесса измерения подтверждает, что при соответ­ ствующем выборе функции стоимости ошибки критерий мини­ мума среднего риска может быть сведен к какому-либо друго­ му уже известному критерию, в частности, к критерию миниму­ ма средней квадратической ошибки.

Это еше раз показывает, что критерий .минимума среднего риска является достаточно общим н от него можно перейти к более простым частным критериям.

§2. Постановка задачи оптимального измерения.

>Пример одномерного оптимального измерения

Оптимальное решение статистической задачи обнаружения состоит в том, что для величины А в выражении (1.14) нужно подобрать такие оценки А* (0 или 1), которые обеспечили бы минимум среднего риска.

Решение статистической задачи измерения будет состоять в подборе оценок а*, а*,.,, для измеряемых параметров а,, а2,...,

в отношении которых известна лишь доопытная (априорная) плотность вероятности /(а,, а2,...). Эти оценки должны быть

оптимальны с точки зрения минимума среднего риска.

В дальнейшем мы будем задаваться квадратичной функцией стоимости. Для этого случая минимум среднего риска эквива­ лентен требованию минимума средней квадратической ошибки.

Как и в случае решения статистической задачи обнаруже­ ния, следует оценить качественные показатели оптимальной обработки при измерении и рассмотреть пути ее технической реализации.

Рассмотрим решение этой задачи на примере одномерного оптимального измерения. Обратимся вновь к стрелочному при­ бору (рис. 1), но несколько изменим постановку задачи.

Будем по-прежнему считать, что показание прибора х скла­

20

величины s дать ей оценку s*. При этом оценка s* должна удовлетворять критерию минимума среднего риска:

f(s*, s)ds*ds на f(s, x)dsdx,

где f(s, х) — совместная плотность вероятности величин s и х , получаем:

Полагая в силу теоремы умножения

f(s, x) = f(x)f(sjx),

выражение (2.11) можно привести к виду:

Э^о выражение можно записать иначе:

Соотношение (2.14) характеризует средний риск, рассчитайный для фиксированного значения измеренной величины х (усреднение при этом ведется по s). Говорят, что в результате такого усреднения получается условный средний риск. Матема­ тическое ожидание условного среднего риска (2.13), рассчитан­ ное с учетом плотности вероятности измеренных значений х, дает безусловный средний риск.

Чтобы обеспечить минимум безусловного среднего риска (2.13), достаточно для каждого х добиться наименьшего подынтегрального выражения (2.13) за счет выбора функции оценки s*= s*(x). Последнее аналогично подбору функции ре­ шения А*(х) в задаче обнаружения.

21

В выражении (2.13) величина f (х) является заданной функ­

f(s:x) = - ~ f { s ) f ( x ! s).

Чтобы обеспечить минимум условного среднего риска (2.14), нужно знать ход соответствующей кривой послеопытной плот­ ности вероятности f(s х) в функции s.

Интегрируя соотношение (2.15) по переменной s и учиты­ вая, что при любом х

§ f (six) ds= 1,

как интеграл в бесконечных пределах от плотности вероят­ ности, получаем:

Из найденных выражений следует, что

Соотношения (2.16) и (2.17) являются соответственно ана­ логами формулы полной вероятности и формулы Бейеса для плотностей 'вероятностей.

Поскольку знаменатель соотношения (2.17) не зависит от s, последнее можно для каждого измеренного значения х пред­ ставить в виде:

22

определяет масштаб кривой f(s.x) на оси s таким образом, что площадь под этой кривой равна единице.

Всилу соотношения (1.19) можно записать:

Сучетом этого соотношение (2.18) приводится к виду:

— распределение помехи подчиняется нормальному закону:

в) да

Уаш

—помеха слабая.

Кривая доопытной плот­ ности вероятности f (s) пред­ ставлена на рисунке 10, а. На рис. 10,6 представлена кривая

к*/»)-/ V H

(X-s)>

•>

2эм,

(2. 22)

У'2к оt

«в функции неизвестного значения s.

ной величине х.

23