ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 2
Но это |
противоречит |
тому факту, что функция (8) определена |
|
в промежутке (хх, х*\ |
Q [а, è], Теорема доказана. |
||
Если |
пользоваться |
обычными |
обозначениями: х — для независимой |
переменной и у — для функции, то |
функцию (9) можно представить в виде |
Уф (■>'!•
Графики прямой функции у = f (х) и обратной функции у =
— ф (х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Действительно, графики функций (8) и (9)
совпадают, на рис. 17 — это линия AB. Замена |
в (9) х на у, а у |
на X приведет к у = ф (х) и к зеркальному отображению AB в ука |
|
занной биссектрисе. |
|
26. Еще три важных предела. Установим |
справедливость |
трех важных формул, которые будут нам полезны в дальнейшем:
1) lim |
logad+g) |
1 |
АГ~> О |
X |
I n а ’ |
|
|
2)lim ~~^г~ ~ In а'
Х-.0 Л
оч |
ѵ |
( і + х ) т — і |
=т. |
3) |
lim |
--- !—------- |
|
|
Х - + 0 |
х |
|
( 10)
(И)
(12)
Согласно свойствам логарифма имеем
|
4 1°8а(1 + *) = |
log« (1 + x f , x . |
|
|
||
Выражение, |
стоящее |
справа |
под |
знаком логарифма, |
при |
|
X-+0 стремится |
к е (см. п. 17), |
а его |
логарифм (в силу непрѳ- |
|||
рывности логарифмической функции) |
стремится к |
logcе = ^ |
-. |
|||
Для вывода |
формулы |
(И) положим ах — 1 = |
у, тогда |
при |
||
X -V 0 (в силу непрерывности показательной функции) и у -*■0. |
||||||
Имеем X = loga (1 + у) и |
с помощью |
формулы (10) получаем |
l i m - |
|
lim |
---- J7-.—г = In я. |
|
|
|
х - * 0 |
|
у+0 |
loge (1+У) |
|
х = |
|
Для доказательства формулы (12) положим 1 + |
||||||
мощью формулы (И) получим формулу (12) |
|
|
||||
lim (1+х)" |
: lim |
е™У — 1 |
: т lim |
е™У— і |
|
У |
х->-0 |
у-*-о |
еѴ — 1 |
у-*о |
т у |
еѴ — 1 |
|
П р и м е р 1. Найти L = lim ln (х2 - 6 х + 6 ) |
П о л о ж и м |
X — |
||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
х 2 — 6 х + 6 = 1 — 4 а + а 2 и
еу и с по
■т .
1 = а . Т о г д а
, |
1 п ( 1 — 4 а + “ 2 ) |
а 2 — |
4 а |
1 |
L = lim |
---- ---------------- -------------- |
|
|
|
а - » - о |
а 2 — 4 а |
а |
|
In е |
( _ 4 ) = - 4 .
П р и м е р |
2. |
lim |
gx_2x |
=1іт 2х |
• —-----—= 2е In 4 = ln 4. |
---------- |
|||||
|
|
х+0 |
х |
х->-0 |
х |
П р и м е р |
3 . |
Н т |
У l + s i n |
X — 1 _ |
(l-j-sinx) 5 —1 sin x _ 1 |
|
|
|
х |
х+о |
sinx |
X ~~ 5 ' |
Глава I I
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Производная является важнейшим понятием математического анализа, основным понятием дифференциального исчисления. Это понятие возникло как результат многовековых усилий, на правленных на решение задачи о касательной к данной кривой, задачи о скорости неравномерного движения и некоторых других задач. Подобные задачи интересовали математиков с давних вре
|
|
мен. Но еще в XVI в. постанов |
|||||
|
|
ка |
этих |
задач |
и методы их ре |
||
Н0 |
H N |
шения носили |
частный |
харак |
|||
тер. |
Накопившийся |
в этом на |
|||||
|
|
правлении обширный материал |
|||||
|
Рис. 18. |
получил |
теоретическое |
завер |
|||
|
|
шение лишь в XVII в. в трудах |
|||||
27. Задачи, приводящие |
Ньютона и Лейбница *. |
|
|||||
к понятию |
производной. |
т о ч к и . |
|||||
З а д а ч а |
о с к о р о с т и д в и ж у щ е й с я |
||||||
Рассмотрим |
движущуюся прямолинейно точку. |
Пройденный ею |
путь s, отсчитываемый от определенной точки прямой, есть функ ция времени t. Движение считается заданным, когда известно уравнение движения: s = f (t). В частности, в случае равномерного движения s — линейная функция времени: s — s0 + vt, где v — постоянная.
Требуется найти скорость движущейся точки. Вместе с тем надо выяснить смысл самого понятия скорости в данный момент времени для случая неравномерного движения.
* Исаак Ньютон (1642—1727) — английский математик и физик. Гот фрид Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — немецкий философ и математик.
Ньютон и Лейбниц — создатели дифференциального и интегрального исчи сления.
Рассмотрим два момента времени t и t + A t. Моменту времени t соответствует положение точки М и пройденный ею путь, равный
s |
- |
/ (t). Моменту времени t + |
At соответствует положение точки |
||||||
N |
и пройденный ею путь s + |
As = |
/ (t + A t) (рис. 18). Поэтому |
||||||
за промежуток времени между t и t |
+ |
A t точка пройдет путь, рав |
|||||||
ный |
As =- / (t + A t) |
— / (t). Средняя |
скорость на участке пути |
||||||
M N |
равна |
ѵср = |
Эта скорость |
воображаемого |
равномерного |
||||
движения. |
Средняя |
скорость |
меняется вместе с |
изменением |
А t |
||||
и тем лучше характеризует движение в промежутке (t, t + At), |
чем |
меньше At. Поэтому правильное представление о скорости движе ния дает предел средней скорости при стремлении At к нулю.
Скоростью V точки в данный момент времени t называют предел
средней скорости при стремлении |
At к нулю: |
|
|
v(t) |
,. |
As |
( 1) |
lim |
-г— |
||
|
At^-0 ^ |
|
Мы получили предел отношения приращения функции к соот ветствующему приращению аргумента при стремлении At к нулю. Пределы такого вида часто встречаются в математике и ее прило жениях. Они называются производными. В данном случае речь идет о том, что скорость движущейся прямолинейно точки есть производная от пути по времени, что обозначается символом и = s't.
П р и м е р |
1. Если |
i |
l |
l |
gt* = gtAt + |
|
s = — gt2, |
то As = y |
g (f + A/)2 |
||||
+ 4- g (ДО2 и c=lim |
(gt + ^- ê bA = gt. |
|
|
|||
* |
ді - |
оV |
l |
j |
|
|
З а д а ч а о с к о р о с т и х и м и ч е с к о й р е а к ц и и . Предположим, что некоторое вещество вступает в химическую
реакцию. Количество этого вещества Q, |
вступившего в реакцию |
к моменту времени t, есть функция от t. |
Приращению времени At |
будет соответствовать приращение AQ величины Q. Отношение^
выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени длиною At. Предел этого отношения при стремлении At
к нулю, т. е. lim |
выражает скорость химической реакции |
|
|
Ді-0 |
&t |
в данный момент времени t. |
||
З а д а ч а |
о |
т е п л о е м к о с т и т е л а . Пусть Ѳ — темпе |
ратура тела, |
w — количество тепла, которое надо сообщить этому |
телу (единичной массы) при нагревании от 0 |
до Ѳ°. Величина w |
|
есть функция температуры w = |
w (Ѳ). Придадим Ѳ некоторое при |
|
ращение АѲ, тогда w получит |
приращение |
Aw. Величина -д^- |
представляет среднюю теплоемкость тела в промежутке темпера тур между Ѳи Ѳ + АѲ. Но теплоемкость, вообще говоря, меняется
при изменении ДѲ. Под теплоемкостью тела понимают величину
с = lim Итак, можно сказать, что теплоемкость есть произ- дѳ-о
водная от количества тепла по температуре.
З а д а ч а о к а с а т е л ь н о й к д а н н о й к р и в о й .
Касательной к кривой в данной ее точке М 0 называется предельное
|
положение |
секущей |
М 0М, |
когда |
|||
|
точка М вдоль по кривой стремит |
||||||
|
ся |
к точке |
М 0 (рис. |
19). |
Угло |
||
|
вым |
коэффициентом |
прямой |
(в |
|||
|
частности, |
касательной) называет |
|||||
|
ся |
тангенс |
угла, |
образованного |
|||
|
этой прямой с осью Ох (угол отсчи |
||||||
|
тывается от оси Ох против часовой |
||||||
|
стрелки)^ он обозначается обычно |
||||||
|
буквой к. |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти угловой коэф- |
||||||
|
I фициент касательной к кривой, |
||||||
Рис. 19. |
заданной уравнением |
у — f |
(х), |
в |
|||
точке М 0 с абсциссой х 0. |
|
|
|||||
|
|
|
Для этого возьмем на кривой точку М 0 (х0, у 0) и близкую к ней точку М (X, у). Проведем секущую М 0М и обозначим через а угол
наклона секущей. Согласно построению (рис. 19) имеем tga =
щ е В М = А М - AB = f ( x ) - f ( x 0) = Ay, М 0В =---СА = О А - ОС = = X — х 0 = Ах.
Следовательно, tg a = -^|-. Если те
перь устремить Ах к |
нулю, то |
точка М, |
|
|
перемещаясь |
вдоль по кривой, устремится |
|
||
к точке М 0, а |
угол a будет стремиться к |
|
||
<р (если кривая имеет касательную в точ |
|
|||
ке М 0). Зная |
угловой коэффициент секу |
|
||
щей, мы, исходя из определения каса |
|
|||
тельной как предельного положения се |
|
|||
кущей, можем найти угловой коэффициент |
р ис_20. |
|||
касательной |
|
|
|
|
|
к = |
tg ф = lim |
tg a = lim ~ . |
(2) |
|
|
Ах-*0 |
Ах-ю |
|
Следовательно, угловой коэффициент касательной еотъ про изводная от ординаты по абсциссе.
Пр и м е р 2. Пусть у = хг. Тогда Ду = 2х0 Дж + (Az)I2,&* где х0 — абс
цисса точки касания М0. Следовательно, »
&= 1іт р г ~ = lim (2ж0-}-Дж) = 2жо. Дх-»-о Д2" Д*-*о
Поэтому (см. рис. 20) имеем AB — ВС ctg cpJ- |
А = |
и точка А делит |
|
2^о |
2 |
отрезок OB пополам. Таким образом, для построения касательной к параболе у == х%в точке С достаточно разделить пополам отрезок OB п его середину соединить с точкой касания.
28. Понятие производной функции. Если сопоставить опера ции, которые были выполнены при решении задач п. 27, и отвлечься от различия в истолковании переменных, то мы увидим, что каж дый раз приращение функции делилось на приращение независи мой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Так мы приходим к основному понятию дифференциального исчисления — к понятию производной.
Пусть функция у = / (х) определена в некоторой окрестности
фиксированного х0. |
Рассмотрим точку х0 + Дх из этой окрест |
||
ности и |
вычислим |
соответствующее приращение функции |
Ду = |
= / (яо + |
Ах) — / (х0). |
н е |
|
О п р е д е л е н и е 1. Производной функции y — f (х) по |
з а в и с и м о й п е р е м е н н о й х п р и д а н н о м з н а ч е н и и х0 (или в данной точке х0) называется конечный предел отношения
приращения функции Дг/ = / (х0 + Дх) — / |
(х0) к вызвавшему |
его приращению независимой переменной Дх = |
х — х0 при стрем |
лении Дх к нулю, если этот предел существует'. |
|
у' = 1іт % -. |
(3) |
Для обозначения производной приняты следующие символы:
у', ух, f (х0), |
. Символ |
(обозначение Лейбница) надо рас- |
сматривать пока как целый символ, а не как частное. |
||
Если отношение Ду к Дх |
при стремлении х к х0 имеет предел |
справа (или слева), то он называется производной справа (соответ ственно производной слева). Такие пределы называются односторон ними производными.
Операция (действие) нахождения производной функции назы вается ее дифференцированием. Функция f (х) называется диффе ренцируемой в точке х0, если она имеет в этой точке производную. Функция / (х) называется дифференцируемой в промежутке, если она имеет производную в каждой точке этого промежутка. При этом, если промежуток от а до Ъ замкнутый, то на концах проме жутка речь идет об односторонних производных.
Геометрическое значение производной установлено в п. 27: производная функции f (х) в точке х0 численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f (х) в точке М 0 с абсциссой х0. Чем «круче» график функции, тем больше | <р |, Itg фI и \у'\. Из геометрического смысла производной следует, что если производная в каком-либо промежутке положительна, то сама функция в этом промежутке возрастает; если же производ ная отрицательна, то функция убывает.