Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Другими словами, для того чтобы функция имела конечный предел при стремлении х к а, необходимо и достаточно, чтобы ее значения были сколъ угодно близки между собою для значений аргу мента, достаточно близких к а (но отличных от а).

Условие теоремы составляет так называемый критерий Боль


цано — Коши	существования		предела		функции.		Доказательство
проведем в предположении, что а — число.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Н е о б х о д и м о с т ь .					Пусть	су
ществует lim	/ (X) = Ъ.	Фиксируем любое				е > 0. По определе-
X -*■а	существует	окрестность			Х а	точки	а	такая,	что
нию предела
I f (х) — b I	при условии			X Ç Х Х а и		х Ф а.		Рассмотрим
х' и х", удовлетворяющие		этому		условию,		и составим разность

/ (*') - f{x") = [f (х') - b] + [ b - f (х'%

которую мы представили в виде суммы двух слагаемых. Абсолют ная величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин

слагаемых, каждая	из которых ^меньше О поэтому имеем
I / («') —7 0*0 I	I/ (х’) — b l-f I b— f (x") I < y - f = e,

T.e. выполнено условие (25).

До с т а т о ч н о с т ь . Пусть выполнено условие теоремы. Нужно доказать существование предела.

Рассмотрим последовательность положительных чисел е = —.

По условию теоремы для каждого числа п и е = — существует

окрестность точки а (назовем ее ô„) такая, что для любых х' и х", принадлежащих X и бл, выполняется неравенство

		\|/ ( х ') - / ( х ') \|< і - .			(26)
Таким образом, возникает последовательность				промежутков {0„}.
Каждую такую окрестность 0„ точки а будем считать отрезком;
при	этом мы	имеем право	предполагать, что	ô„ +1	Ç 8п (п =
= 1,	2, . . .).	Действительно,	если бы отрезок	0П+1 не	составлял
части отрезка		0„, то мы просто заменили бы отрезок б„ + г общей

частью отрезков 8п и 0Л+ 1 и получили бы непустой отрезок 0„бл + 1, содержащийся в 8п.

Функция / (х) на отрезке 8п подчинена условию (26). Поэтому все множество Y n ее значений, принимаемых на 8п, может быть

заключено внутри некоторого отрезка ГАЛ[длиной —. Но 8n +1Ç 8п,

и поэтому Y n +l Q Y n. Следовательно,	отрезок	А„ + 1 может быть
взят целиком заключенным в отрезке	Д„: Дл+1	С Дп- А так как

длина отрезка Ап стремится к нулю при п -*■ оо, то последователь ность отрезков {А,,} образует стягивающуюся систему отрезков. В силу леммы о стягивающейся последовательности отрезков существует число Ь, принадлежащее всем отрезкам Дл.

Убедимся в том, что число b является пределом / (х) при стрем лении ж к а. С этой целью рассмотрим числовое множество еь , т . е.


е-окрестность точки Ъ. По определению числа Ъимеем Ап £									еь для
всех	достаточно больших			п. Поэтому,	если	ж	£ Xôn, то	/ (х) £
£ Y п £		Ап £	гь. Отсюда следует по определению предела						функ
ции, что		b — lim / (х) при X -*■ а. Теорема доказана.
Из теоремы Больцано — Коши, в частности, следует к р и т е
р и й с х о д и м о с т и				п о с л е д о в а т е л ь н о с т и :					для
того	чтобы		числовая последовательность			{уп} имела		предел,
необходимо и достаточно,				чтобы при	любом г		0 существовало
такое N , чтобы для всех				достаточно	больших		п и т (т. е. при
п /> JV и т /> N ) выполнялось неравенство \у п — ут \ < е.
П р и м е р			3. Функция	/ (х) = sin	определенная при х^= 0, нэ

имеет предела при стремлении х к нулю, потому что нарушено условие (25), являющееся необходимым для существования предела. Действительно,

в силу периодичности функции sin г и стремления z = -і- к бесконечности,

существуют сколь угодно близкие к точке х —0 значения х' и х ", при которых / (х') = 1, / (х") = —1, а их разность / (х') — / (х” ) = 2.

§ 3. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Непрерывные функции образуют основной класс функций, рассматриваемых в математическом анализе. Первичное предста вление о непрерывной функции как о функции, график которой можно начертить не отрывая пера от бумаги, явно недостаточно.

Нужен	аналитический	признак непрерывности.	промежутке.
21.	Понятие непрерывности функции в точке и в
Пусть функция /(ж) определена в точке ж0 и некоторой ее
окрестности.		1. Функция / (х) называется н е п р е
О п р е д е л е н и е
р ы в н о й в т о ч к е		х 0, если существует предел /	(х) при стре
млении X к ж0 и этот предел равен значению функции в точке х 0:
		lim / (ж) - / (ж0).	(1)

Если это условие не выполнено, то точка ж0 называется точкой разрыва функции / (х).

П р и м е р 1. Рассмотрим	тело, находящееся	при температуре Ѳо
в твердом состоянии. Обозначим:	Q (Ѳ) — количество	тепла, поглощенное

телом при его нагревании до температуры Ѳ; Ѳі — температура плавления; Ѳ2 — температура газообразования вещества этого тела. При нагревании

тела от температуры Ѳ„ до Ѳі величина Q увеличивается. Она продолжает уве личиваться при дальнейшем нагревании тела при температуре Ѳі в процессе

ого плавления. Достигнув некоторого значения, переменная Q продолжает возрастать вместе с ростом температуры вещества, перешедшего в жидкое состояние и т. д. График изменения Q (Ѳ) изображен на рнс. 15. В точке Ѳі

эта функция имеет предел слева lim Q (Ѳ) = А ф і и предел справа lim О (Ѳ)=

ѳ+Ѳі-о ѳ-ѳ,то

= .41Ci, но они не равны между собой, так как отлична от нуля скрытая те

плота плавления, представленная отрезком ВіС\-			Аналогичное явление на
блюдается в точке Ѳ2. Условие непрерывности (1)			функции	Q (Ѳ) в точках
Оі и Ѳ2 но выполнено п это суть точки разрыва функции.				значениях	х,
П р и м е р	2. Функция	у — х2 непрерывна	при всех
потому что выполнено условие		(1). Действительно,	в силу теоремы 2 п.		15
имеем lim х3 =	lim х ■lim х — х%.
X -► Х 0	X -• Л„ X -*■ Х 0

Условию (1) можно придать

вид

lim

/(ж) -

/(lim a:).

Х 0

-*■ Х 0

В такой форме записи условие

непрерывности

функции в точке

выглядит внешне так,

как будто

можно перейти к пределу под

знаком

функции

или

переста

вить местами знаки lim и /.

При

определении

понятия

предела функции при

стремле

нии ж к

х 0 было

безразлично,

определена

ли функция в точке

х 0 или нет. Для

непрерывности

димо,

чтобы

эта

функция

функции

точке

необхо

была

определена

точке

х 0.

На

«языке

8, Ô» условие

(1)

означает, что для .каждого

е >■ О

существует число

ô / > 0

такое,

что

при

условии

\х — ж0 | < 0

выполняется неравенство

І / ( * ) — / ( * о ) І < е -

( 2 )

Соотношение

(2)

должно

выполняться для всех без исключения

точек из ô-окрестности точки х 0. Величина ô зависит не только от 8, но и от ж0, что можно выразить символически: ô = ô (е, х 0).

Условие непрерывности функции в точке встречается в другой форме, эквивалентной условию (1). Пусть функция / (ж) опреде лена в некоторой окрестности точки х0. Приращением аргумента при переходе от его значения х 0 к значению х называют разность

X — ж0; принято	обозначение
	Аж = ж — х0.	(3)
Приращением	функции у = / (х) при	переходе от точки х 0

к точке х называется разность соответствующих значений функции

Ay = f(x) — f(x0) = f ( x 0 + Ax ) - f(x) .	(4)
Из условия непрерывности (1) следует (в силу теорем п. 15),
что lim [/(ж) — f(x0)] = 0 и
lim Ду = 0.	(5)

Ах->0

Наоборот: если выполнено условие (5), то вместе с ним выпол- ' нены предшествующее ему равенство и вытекающее из него ра венство (1). Следовательно, условия (1) и (5) эквивалентны. Каж дое из этих условий может служить для определения понятия непрерывности функции в точке х 0. Поэтому можно дать такое опре

деление непрерывности	функции	в	точке, равносильное опреде
лению 1.	2. Функция		/ (х)	называется	непрерыв
О п р е д е л е н и е
ной в точке х 0, если бесконечно		малому		приращению	аргумента

соответствует бесконечно малое приращение функции.

В разных случаях удобно пользоваться тем или другим усло

вием непрерывности		функции.
П р и м е р	3. Функция у		sin X непрерывна при любом значении х.
Денствительно,	Ду —■ошsin	(х0 +	Дж) — ошsin ох.Q0 —= и2 cos ( х0 +1 -ДЛ^у sin ^

Величину Ду можно представить п виде произведения трех сомножителей:

,	sin а	, . ,	Дж
і\у ——		Дж• cos (ж0 -f a ), где	a = — ,

из которых два ограничены, а один бесконечно мал (первый сомножитель ограничен при стремлении Дж к нулю, потому что он имеет при этом конечный предел). Следовательно, все произведение, т. е. А у, тоже стремится к нулю в силу теоремы о произведении бесконечно малой на ограниченную. Этим доказана непрерывность функции sin ж.

Аналогично доказывается непрерывность функции cos х.

Введем понятие односторонней непрерывности функции в дан ной точке. Функция / (х) называется непрерывной в точке х 0 справа (слева), если выполнено предельное соотношение / (х0 + 0) =

= / (ж0) [соответственно / (х0 — 0) =	/ (х0)].
О п р е д е л е н и е 3. Функция	/ (х) называется непрерыв

ной в промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого про межутка.

22. Классификация точек разрыва. Для непрерывности функ ции / (х) в точке ж0 необходимо (как, впрочем, и достаточно), чтобы она была определена в этой точке, чтобы существовали одно сторонние пределы слева и справа: