Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 160

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

П р и м е р

7-

Функция у

(х)

задана

параметрически: х = г cos t,

у = г sin t, где

г

— постоянная.

По формуле (10) получаем

 

 

( r s i n t ) ' t

___

г cos t

___

X

 

 

Ух = ( Г COS i ) ’t

~~

-г sin t ~

У '

Желая исключить параметр t, лозводнм оба данные равенства в квадрат и результаты складываем. Получим уравнение х2 + у2 = г2, из которого

найдем явную зависимость у от х: у = ± У г2 — х2. Дифференцируя эту

функцию по X, придем к прежнему результату у'х = -----—= — — .

у

30. Основные формулы дифференцирования. Приведем таблицу производных, содержащую основные формулы дифференцирования:

1.

У = с,

у '

— 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

у = хт,

г/ — тхт~1,

2а)

у = х,

у' — і,

 

 

26)11 = 4 ,

 

=

 

 

2в ) у = Ѵ^>

 

=

 

 

3.

у ^ а х,

у’ = ах \па,

За)

у = ех,

у"

 

е х;

 

 

4.

y = \ogax,

у'

1

4а)

г/ - In ж

 

у*= — ;

 

 

 

 

 

 

5.

ÿ = sina;,

у’ =

 

6.

г/=^ cos ж;

у '

== —

 

 

7.

у — igx,

у’=

COS2 X

8.

г/= ctg ж,

у' = —

sin2 X

 

 

у ~ arcsin ж,

 

1

 

 

 

 

 

1

 

9.

у *~- Т і - х 2

10.

г/^arcco sж,

г/' = -

V 1 — X2 ’

11.

г/ = а г ^ ж ,

г/'

1

12.

г/ = а гс ^ ж ,

у* = ■

1

•

1 + Х2 ’

1 + Х2

Вывод основных формул дифференцирования помещен ниже.

Т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и .

Производная

си­

нуса выведена в и. 28. Представим у =

cos ж в виде у = sin ^ -----ж^

и в соответстви с правилом дифференцирования сложной функции получим

У

: COS I

 

-Sin X .

 

Производную

функции у = tg ж

sm X получим

по правилу

дифференцирования дроби

 

COS X

 

 

 

 

(sin г ) 'cos X —sin X(cos х)'

cos2 хф-sin2 х _

 

У =

COS2 X

 

COS2 X

COS2 X

Пусть у = ctg ж = tg

— ж) » тогда

 

 

 

 

1

 

ÿ' = cos~2 (-у —ж) •(-!— Æ) :

Л о г а р и ф м и ч е с к а я

ф у н к ц и я .

Пусть

y = loga;£,

где

0 < а Ф 1.

Тогда

&у = loga (х -f Ах) — logax = loga ( l + ^ - ) • С по­

мощью формулы (10) п. 26 получим

 

 

 

il

,

 

v log“( 1 + ^ )

1 г

1(Ц

1 + Пг)

4

 

 

—lim ----- ------------= — lim

-------------------=

—,— .

 

 

 

 

Дл'-*о

Дж

x Ax^o

 

A l

x l n a

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

Следовательно, производная логарифмической

функции

у =

= loga X равна

единице,

деленной

на

произведение аргумента

этой функции и натурального логарифма основания. В частности,

если а = е,

то

у'

А

 

= —.

 

 

 

а

»

 

П р и м е р

1.

г/= ln sin ж,

(sin х )' = ctg X.

В более общем сл>^ае, когда г/==1пф(ж). по правилу диф-

ференцирования

сложной

функции получим у’ = —р - ф' (г). Ло-

 

 

 

 

ф \Х)

гарифмической производной данной функции ц>{х) называется

производная

ее логарифма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1пф(ж)]':

ф' (*)

 

 

 

(И )

 

 

 

 

<р(ж)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

2-

Для

нахождения

производной функции у =

V -

целесообразно

предварительно

найти

ее логарифмическую производную,

т. е. производную

функции Іи у =

\

 

 

 

 

 

— (ln sin х — ln х). Дифференцируя по

гг. получим - у

=

^

(ctg

* -

- і ) .

 

 

 

 

 

 

Умножив этот результат на у,

получим окончательно

 

 

 

 

 

 

 

10 Г

-

 

 

 

 

 

 

П о к а з а т е л ь н а я

ф у н к ц и я .

Пусть

у

=

ах, где

1 Ф а > 0.

При

любом вещественном

значении

х

величина у

положительна. Вычислим логарифмическую производную данной показательной функции, т. е. производную функции In у = х In а;

получим —

=

In а. Умножив

на

у,

получим окончательный

результат:

у'

= ах In а. Если

при

этом

х = х (1), то

 

 

y't — ах In а • x't.

( 12)

Следовательно, производная показательной функции равна про­ изведению этой функции на натуральный логарифм основания

ина производную показателя. В частности, если а = е, то In а =

=1 и у' = ехх '.

П р и м е р 3. у — ааіпх, у' = а*1п * lu а • cosæ.

Следовательно, «скорость» изменения показательной функции пропорциональна уже достигнутому значению функции у' = ку. Именно на этом свойстве показательной функции основано ее широкое использование в науке.

С т е п е н н а я ф у н к ц и я у — х™ (где те — любое веще­ ственное число). Область изменения х зависит от те; она была

указана

в п. 8.

При х Ф О имеем

 

 

 

 

Лу _ (х -f- Ах)т — хт

 

 

 

 

Ах

 

Ах

 

!±х

 

 

 

 

 

 

X

 

Если воспользоваться

пределом (12)

п. 26, то получим

 

 

 

у" = lim ■— = тех

 

 

 

 

 

& Х - + 0 & Х

 

 

 

Если

х0 = 0,

то те 5s 0. При те = 0 имеем у = 1

и у’ = 0. При

те> 0 имеем Ау = (х0 -f Ax)m — х™ = (Ах)”1 и

 

 

/ = 1 і ш ^ = 1іт(Д*Г> = ( °

”Р“ га > 1 '

 

Ах->0 &Х

Ах-*о

( 1

при те =

1.

Если 0 < т е

< 1 ,

то в точке х0 =

0 производная бесконечна

Во всех остальных случаях существует конечная производная, равная у' = техш_1. Если х ~ ц>(t), то производная степенной -функции равна произведению показателя степени на степень с тем же основанием и уменьшенным на единицу показателем и на про­

изводную основания:

y't = тхт~1-х\.

(13)

 

 

 

П р и м е р

4-

Если

у = E sin х, то

у' — —C°S—- .

 

П р и м е р

5.

Пусть

температура

2У sin X

газа

данной массы идеального

постоянна. Обозначим ее объем ѵ, а давление р. Тогда, как известно, имеет

место зависимость

рѵ — рощ, где р0 и

ѵ0 — первоначальные значения дав­

ления и объема.

Следовательно, ѵ =

- °' °

ir ѵ'п = ---- .

Величина ѵ’„

 

 

р

н

р*

характеризует скорость изменения объема газа при изменении его давления. Производная оказалась отрицательной, что указывает на уменьшение объема при увеличении давления.

С т е п ен но - п ок а з ат е л ьн а я ф у н к ц и я : у = иѵ,гр,еи =

— и(х), ѵ = ѵ(х).

Здесь н (х )> 0, и поэтому у можно представить

■в виде y = é°lnu.

Дифференцируя у по х как сложную функцию,

получим

 

у’ =еѵ1пи (и ln и)" — u® ln и ■v‘ -f- vuv xu \

(14)

Отсюда следует правило: для того чтобы найти производную' степенно-показательной функции, надо ее продифференцировать как степенную функцию и как показательную функцию и резуль­ таты сложить.

П р и м е р 6. у = хх,

у' -~хх ln х-'г ххх~1= хх (Іа хЛ-1).

 

О б р а т н ы е т р и г о н о м е т р и ч е с к и е ф у н к ц и и .

Пусть у = arcsin х;

ее

область определения |х |

^ 1 . Обратная

функция есть х

= sin у.

По правилу дифференцирования обрат­

ной функции,

при

\х\

< 1

получаем

 

 

Ух~

ХУ

Сosy

+ У і —Sin2j/

V

’

где перед корнем взят знак плюс, так как |г/|< 4 ц .

Пусть у = arccosх; ее область определения |ж |^ 1 . Из опре­ деления функций arcsin х и arccos х следует, что их сумма

равна —, поэтому

у = ~— arcsinх

и у' — ---- .......... при |х|-<1..

I

 

I

 

 

у

1 _

х 2

Аналогично для

у — arctgx

получаем при

|х |< о о

Ух =

=

cos2 у

 

1

1

 

1 +

tg2 У

1 + * 2

■

 

 

Для y = arctgx

при

|х |< о о

получаем у* =

arcctgx^ =

1

~1 + з;2 *

31.Производные высших порядков. Производная /' (х) дан­ ной дифференцируемой функции / (х) сама есть функция перемен­

ной X. Ее называют производной первого порядка. Если она имеет производную, то, дифференцируя ее, мы получим новую функцию,, которая называется производной второго порядка, или второй производной первоначальной функции, и обозначается так:

У"= (уУ-

(15)

Продолжая дифференцирование, получим третью производную и т. д.

О п р е д е л е н и е . Производной п-го порядка, или п-й производ­

ной данной функции, называется производная

от ее производной

п — 1-го порядка

 

уш = (у(п~ѵУ.

(16)

Для производных высших порядков приняты обозначения:

г г ,У Уш , у'й\

или у , у У 1\ у \

Функция / (X) называется непрерывно дифференцируемой п раз,

если существуют ее производные до порядка п включительно и эти производные непрерывны.

П р и м е р 1. Если і/= sin лг, то у' = co s ж = sin

+

J , у"~ —sin х —

= sin (ж + я), т. е. дифференцирование sin ж приводит к прибавлению числа

я^

— к аргументу. Поэтому имеем

 

 

 

 

yin) == (sin ж)(п>= sin ^ж-j-ra

.

 

 

 

(17)

П р и м е р

2.

Если ?/= а0хпц- щж"-1-!- . . . -|-ал, где а0, . . .,

ап—постоян­

ные,

то

г/ = а0яж'г~1 + а1 (п — 1) жи-2+ . . . + ял_1.

Продолжая

дифференци­

рование,

получим

г/(тг) =

я0 (я !), где

я ! =

1 • 2, . . .,

я.

 

 

 

 

П р и м е р

3.

Пусть у = и [ х ) ѵ { ж). Применяя правила дифференцирова­

ния

произведения

и суммы,

получим

у' — и'ѵ-\-мд',

г/" = а'Ѵ+2м'у'-|-ма".

Продолжая процесс дифференцирования, придем к следующей формуле:

 

 

 

(uv)w

 

 

 

+

С%и(п-Ѵѵ" +

. . . +

 

 

 

 

 

 

 

-f-C„u(n-Ä)i>(fe)-\-. .. -\-uv(n),

 

 

 

 

(18)

которая называется формулой Лейбница. В ней принято обозначение

 

 

 

 

 

п (п — 1)

. . . (я -

1)

 

 

 

 

(19)

 

 

 

 

Ф

1 • 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

4.

Если и = ех, у = ж2, то,

по формуле

Лейбница, получим

 

 

(е*ж2)(2°> = ехх2

20е* • 2ж +

190е* • 2 = t* (ж2 + 40ж +

380).

 

 

§ 5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

 

 

 

 

 

ИСЧИСЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

32.

Теорема Ферма.* Если функция / (х) 1) определена в некото­

ром

промежутке (а,

Ь),

2) достигает в

некоторой

внутренней

 

 

 

 

 

точке

с

этого

промежутка

наибольшего

 

 

 

 

 

(или наименьшего) значения, 3) существует

 

 

 

 

 

конечная производная /'

(с), то эта производ­

 

 

 

 

 

ная необходимо равна нулю: f

(с) = 0.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию в

0

 

с

 

I

точке с функция / (х)

достигает,

допустим,

 

 

наибольшего

значения.

Это

 

значит, что

 

Рис. 22.

 

 

выполнено неравенство / (с) ^

 

/ (х), а вместе

 

 

 

 

 

с ним

и неравенство

Ау — f (х) — f (с) ^ 0

 

 

 

 

 

для всех X из промежутка (а,

 

Ъ).

 

При х<с.с

имеем £±.х = х — с < 0

и -^ - ^ 0 . По условию в точке

с существует конечная производная. Поэтому получим

 

 

 

 

 

lim

= f (с —0) ^

0.

 

 

 

 

 

д*-+-о м

Смотрите также файлы