ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 2
|
П р и м е р |
1. |
Функция у |
= — имеет |
точку разрыва второго рода |
||
х0 = |
0, так как |
при стремлении х к нулю функция бесконечно большая. |
|||||
X = |
П р и м е р |
2. |
Функция у = Е (х) имеет точки разрыва первого рода |
||||
п, так как |
Е (п |
0) — п, |
Е (п — 0) = |
п — 1. |
|||
|
П р и м е р |
3- |
|
|
|
sin X |
|
|
Функция, заданная равенствами: у = ------- при x=h О, |
||||||
у = |
с при X = |
0, имеет |
разрыв |
|
X |
||
первого рода в точке х0 = 0, если c=jl= 1. |
|||||||
Если же с = |
1, то данная функция непрерывна в точке х0 -- 0. |
||||||
|
П р и м е р |
4. |
|
|
1 |
|
|
|
Функция у — arctg — имеет разрыв первого рода в точке |
||||||
х0 = |
0, потому |
что |
f (+ 0) = |
/ (—0) = |
-----. |
||
В случае разрыва первого рода в точке хп разность / (х0 -j- 0) — j (хй—0) называют величиной скачка функции / (х) в точке х0.
23. Свойства непрерывных функций.
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и част}іое двух функций, непрерывных в точке х 0, также являются функциями, непрерывными в точке х 0 (в случае частного предполагается, что знаменатель не обращается в нуль в этой точке).
Доказательство основывается на теореме об арифметических действиях над функциями, имеющими пределы. Так, если функции и (х) и V (X) непрерывны в точке х 0, то для каждой из них выпол нено условие (1), и по теореме о пределе суммы имеем
lim [и (х) -f- и (ж)] == lim и (х) ~j- lim v(x)~^u (х0) -f- v (а:0).
Х - * Х 0 |
Х -> -Х 0 |
Л'-^.Ѵо |
Это равенство и означает, |
что |
функция и (х) + ѵ (х) непрерывна |
в точке х 0, потому что для нее выполнено условие (1). Аналогично доказывается непрерывность разности, произведения и частного.
Теорема 2. Все основные элементарные функции непрерывны там, где они определены.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Степенная функция у = хп с нату ральным показателем п непрерывна при любом х, так как по теореме 2 п. 15 имеем
lim хп = (lim х)п = хп.
X - + X Q X - * X Q
Целая рациональная функция непрерывна при любом х, что прямо следует из теоремы 1.
Дробная рациональная функция непрерывна всюду, где знаме натель не обращается в нуль, что также следует из теоремы 1, принимая во внимание непрерывность многочлена.
Непрерывность тригонометрических функций sin х и cos х имеет место всюду, что доказано выше (в и. 21); tg х и ctg х не прерывны всюду, где эти функции определены как отношения двух непрерывных функций sin х и cos х.
Можно доказать непрерывность и других основных элементар ных функций в соответствующих областях.
Теорема 3. Сложная функция, |
составленная из непрерывных |
||||||||||
функций, |
непрерывна. |
|
|
в промежутке (а, ß) и |
непре |
||||||
Дано: |
1) X —- ф (t) определена |
||||||||||
рывна |
в |
точке |
t0 этого |
промежутка; |
обозначим ср (£0) = |
х 0, |
|||||
2) у = / (X) |
определена |
в промежутке (а, Ь), |
причем, если |
t Ç |
|||||||
Ç (а, |
ß), |
то |
X — ср (t) |
Ç (а, |
Ь), 3) |
/ (х) непрерывна в точке |
х 0. |
||||
Требуется доказать, что сложная функция |
г/ = /(ф(0) |
непре |
|||||||||
рывна |
в точке |
t0, т. е. выполнено |
условие 1ітАг/ = 0. |
|
|
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Фиксируем |
д;->о |
(а, ß) |
||||||||
в |
промежутке |
||||||||||
значения t 0 и t. |
Рассмотрим соответствующие значения х 0 = |
ср |
(t0) |
||||||||
и X = |
ср (t), они принадлежат промежутку (а, Ъ). Рассмотрим соот |
||||||||||
ветствующие приращения функций |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ах = X — х0= ф(t) — ф (t0), |
|
|
|
||||
|
|
|
Аг/ = /(*) — / («о) = / (Ф (0) - |
/ (ф (*о)). |
|
|
|||||
Непрерывность х — ф (t) в точке t0 означает, что при стремле нии t к t0 величина Ах стремится к нулю, а следовательно, х стремится к х 0. Из непрерывности у = f (х) ъ точке х 0 следует, что при стремлении х к х 0 величина Ау стремится к нулю.
Следовательно, если t стремится к t0, то стремится к нулю соот ветствующее приращение Ах «внутренней функции» х = ф (t), а вместе с ним и соответствующее приращение Ау, что и означает
непрерывность сложной функции у — / (ф (t)) в точке t0. |
|
П р и м е р |
8. Функция у = sin3 х непрерывна при любом х как слож |
ная функция, |
составленная из непрерывных функций у = к3 и и = sin х. |
24. Свойства функций, непрерывных в замкнутом промежутке.
Эти свойства ниже сформулированы в виде теорем, которые мы приводим без доказательства *.
Пусть функция у = / (х) непрерывна в промежутке [а, 6]. Это значит, что она непрерывна в каждой внутренней точке про межутка и что на концах промежутка имеет место односторонняя
непрерывность, т. е. |
выполнены условия |
/ (а + 0) = / (а) и |
|
f (Ь — 0) = / (Ъ). |
|
(х), |
непрерывная в зам |
Теорема Вейерштрасса **. Функция / |
|||
кнутом промежутке |
[а, Ъ\, достигает в |
этом промежутке своего |
|
наибольшего и своего наименьшего значений, т. е. существуют
такие точки х х и х г промежутка |
[а, 6], что для всех х из [а, 6] вы |
||||
полняются неравенства / (х±) ^ |
/ |
(х) и |
/ (х) ^ |
/ (х2). |
|
П р и м е р 9. Функция у = sin х, |
непрывная в замкнутом промежутке |
||||
O 'g г |
я, достигает наименьшего значения в крайней левой точке промежут |
||||
ка х\ |
0 и наибольшего значения во внутренней точке промежутка х г = у ! |
||||
выполняется неравенство 0 --"Сsin х ==; 1 |
при 0 |
х ^ |
я. |
||
* Доказательство см. в работе Г. М. Фихтенгольца «Основы математи |
|||||
ческого анализа», т. I, пи. 72—75. |
|
|
|
|
|
** |
Карл Вейерштрасс (1815—1897) — немецкий математик. |
||||
Теорема. Непрерывная функция, меняя знак, проходит через
нуль. |
значит, что если на концах промежутка непрерывности |
|||||||||||||
Это |
||||||||||||||
Іа, Ъ] функция |
/ (X) |
принимает значения разных знаков, |
т. е. |
|||||||||||
/ (а) / (Ь) < 0 , |
то между а и Ь имеется точка с, в которой функция |
|||||||||||||
обращается |
в |
нуль: / (с) = 0 . |
|
|
|
[а, b] функция |
||||||||
Теорема Коши. Непрерывная в промежутке |
||||||||||||||
/ (X), переходя от одного своего значения к другому, |
проходит через |
|||||||||||||
каждое |
промежуточное |
значение. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Это значит, что если число р, находится между значениями функ |
||||||||||||||
ции / (жД и / (ж2) Ф / (жД, где хг и х 2 из |
[а, Ь\, |
то в промежутке |
||||||||||||
(жи X,) имеется точка с, значение функции в которой / (с) равно р. |
||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть / (жД <; р |
< |
/ (ж2). |
Рассмо |
||||||||||
трим в |
промежутке |
[ж1; ж21 вспомогательную |
функцию |
ср (ж) |
~ |
|||||||||
~ f |
(х) |
— р. Эта функция непрерывна в промежутке и на концах |
||||||||||||
его |
имеет |
значения |
разных |
знаков: |
ф (жД — / (жД — р < 0 , |
|||||||||
Ф (х і) ~ |
f (х -д — р > 0 . |
Согласно предыдущей |
теореме |
между |
||||||||||
х г |
и ж2 имеется |
точка |
с, в |
которой |
ф (с) = |
/ (с) -—р = |
0, |
и |
||||||
/ (с) = |
М- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем понятие равномерной непрерывности функции в проме |
|||||||||||||
жутке. Для этого сформулируем на «языке е, <5» понятие непрерыв ности функции в промежутке X (это может быть промежуток зам кнутый или незамкнутый, ограниченный или неограниченный).
Непрерывность функции / (ж) в каждой внутренней точке ж промежутка X означает, что для каждого е Д> 0 существует число
Ô(е, ж) такое, |
что выполняется неравенство | / (ж') — / (ж) | < е |
при условии \ х' |
— ж| < ô . Здесь важно подчеркнуть, что ô зависит |
не только от в, |
но и от точки ж. |
Если бы речь шла о конечном числе значений ж (при неизмен ном е), то из конечного числа соответствующих им чисел Ô (б , жг), . . ., ô (е, хп), каждое из которых положительно, можно было бы выбрать наименьшее ô (б) > 0 . Оно также было бы поло жительным и годилось бы для всех рассматриваемых х1, . . ., хп. Но при бесконечном множестве значений ж, содержащихся в про межутке X, ситуация слояшее: при фиксированном s > 0 множе ству {ж} соответствует бесконечное числовое мноліество {ô (е, ж)}, в котором может не оказаться наименьшего числа. Например, если числа ô заполняют промежуток (0,1), то нет положительного
числа, меньшего всех |
чисел |
этого |
множества. |
р а в н о |
О п р е д е л е н и е |
4. Функция |
f (ж) называется |
||
м е р н о н е п р е р ы в н о й |
в п р о м е ж у т к е X, если для |
|||
каждого е > 0 существует соответствующее ô (s) О 0 |
(не завися |
|||
щее от х) такое, что для любых х £ X и х' £ X, удовлетворяющих |
||||
условию I ж' — ж| < ô , |
выполняется |
неравенство |
|
|
|
!/(*') —/ (ж)I <е. |
(7) |
||
В этом случае число |
ô оказывается |
зависящим только от 8 |
и годится для всех ж из |
промеяіутка X . |
Равномерная непрерыв- |
ноетъ означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента, чтобы получить заданную степень близости соответствующих значений функций.
П р и м е р. Рассмотрим функцию у в промежутке 0 <4 сс <;
< / ж < /1 . Фиксируем любое число e ( 0 < J e < / l ) . Рассмотрим ж0 Ç (а, 1).
Неравенство І _ |
J - <* е равносильно неравенству |
— —8 < |
X |
X Q |
Хо |
-< — +
X X Q
+ е; . J_ . |
В качестве б можно взять разность |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Ö (в, Х0 ) = |
Х0 — ж х |
вхі |
|
|||||
|
|
|
|
|
14- |
вх0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
На рис. 16 видно, что чем «круче» график функции, тем меньше б, т. с. |
|||||||||||||
чем ближе ж0 |
к точке а, тем меньше б. Это же |
У |
|
||||||||||
следует из формулы, определяющей |
б (е, |
ж0). |
|
||||||||||
Если а <; х </ 1, то существует положи- |
|
|
|||||||||||
|
s |
|
/ \ |
са2 |
такое, |
что |
|
при |
|
|
|||
тельное б |
|
(е) = —------ |
|
|
|
||||||||
IX — х 0 I < 4 |
|
|
1+ еа |
|
|
|
|
|
по |
|
|
||
б (е) выполняется условие (7), и |
|
|
|||||||||||
этому |
функция 1/ж |
равномерно |
непрерывна |
|
|
||||||||
в промежутке (а, 1), где а 4> 0. |
|
|
непре |
|
|
||||||||
В промежутке |
(0,1) |
функция 1/ж |
|
|
|||||||||
рывна, |
но не |
равномерно |
непрерывна, так |
|
|
||||||||
как при х0 |
|
0 имеем б (е, |
ж0) |
0. |
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
Кантора *. |
Если |
|
функ |
|
|
|||||||
ция |
непрерывна |
в замкнутом |
проме |
|
|
||||||||
жутке, |
то она равномерно непрерывна |
|
|
||||||||||
в этом промежутке. |
значит, |
что |
если |
Рис. 16. |
|
||||||||
В |
сущности |
это |
|
||||||||||
функция |
непрерывна |
в промежутке |
е /> 0 можно |
разбить |
|||||||||
[а, Ъ], |
то |
|
для |
произвольного |
числа |
||||||||
промежуток |
[а, |
Ъ\ на конечое число таких частей, что |
значения |
||||||||||
функции в двух произвольных точках любой части отличаются между собой меньше, чем на е.
25. Непрерывность обратной функции. Введем понятие |
обрат |
ной функции. Пусть функция |
|
y = f ( x ) |
(8) |
определена, строго монотонна и непрерывна в промежутке |
[а, Ъ\. |
Обозначим наименьшее из чисел / (а) и / (6) через а, a наиболь шее — через ß.
Функция (34) принимает каждое значение промежутка [а, ß1, т. е. промежуток [а, ß] сплошь состоит из значений функции (8), что следует из непрерывности функции (8) и теоремы Коши (см. п. 24). Каждое значение у из [а, ß] функция / (х) принимает только один раз, что следует из монотонности данной функции.
Георг Кантор (1845—1918) — немецкий математик.
Числовые множества, определяемые неравенствами а ^ х ^ Ъ и а sç у «5 ß, эквивалентны, т. е. между элементами этих мно жеств можно установить взаимно-однозначное соответствие. Дей ствительно, каждому элементу х из [а, Ъ] соответствует единствен ное значение у из [а, ß] согласно равенству (8).
Выберем любое уг в [а, ß], В промежутке [а, Ъ] н а й д е т с я значение хг, при котором функция / (х) имеет значение ух. Это зна чение единственное, так как функция (8) монотонна. Таким обра зом, каждому у из [а, ßl поставлено в соответствие определенное значение х из [a, b] такое, что / (х) = у. Этим определена в области
[а, ßl функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
х = ц(у), |
|
|
|
|
|
(9) |
8, |
которая |
называется |
|
обратной |
|||
|
функцией для функции (8). Здесь |
||||||
|
у — независимая переменная, х — |
||||||
|
функция. |
|
|
|
следует, |
||
|
Из этого определения |
||||||
|
что 1) |
функции (8) |
и |
(9) взаимно |
|||
|
обратны, |
2) имеют |
место |
тож |
|||
|
дества |
/ |
(ф (у)) = |
у |
в |
[а, |
ßl и |
|
Ф (/ (х)) = |
X в [а, |
&]. |
|
|
|
|
|
П р и м е т |
11. Функция у = ех в |
||||
|
промежутке —°о |
х <у оо |
и функция |
|||
|
X — In у в |
промежутке |
О <С у < |
°° |
||
|
суть взаимно-обратные функции, что |
|||||
|
следует из определения этих функций. |
|||||
Рис. 17. |
Теорема. |
|
Если |
функция |
(8) |
|
|
|
|||||
|
определена, |
строго |
монотонна |
и |
||
непрерывна в \а, b], то обратная функция (9) определена, моно тонна (того же характера, что (8)) и непрерывна в промежутке между / (а) и / (Ь).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование функции (9) показано выше при определении понятия обратной функции.
Монотонность обратной функции докажем рассуждением от противного. Пусть функция (8) возрастающая, а (9) — невозраста ющая, тогда имеют место неравенства у 2 ( >у г я х 2 ^ хг при не которых значениях х1, х 2, уг, у 2. Но такие неравенства противоре
чат условию возрастания функции (34), |
так |
как при хх > х2 |
имеем у1 > г /2, а при хх = х 2 имеем yt = |
у 2. |
Поэтому обратная |
функция возрастающая. |
|
|
Непрерывность обратной функции докажем тоже рассуждением от противного. Пусть у 0 из промежутка [а, ß] есть точка разрыва функции (9)» У монотонной функции разрывы могут быть лишь
первого рода, поэтому имеем lim ф (у) = хг |
х 2 = lim ф (у) |
У ■* Уи~о |
У -* Уь*о |
и функция (9) не принимает значений в промежутке (х1Уж2).
