Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Механическое значение производной установлено тоже в п. 27: скорость прямолинейно движущейся точки есть производная от

пройденного пути по времени.

Если

слово «скорость» понимать в б о л е е ш и р о к о м

с м ы с л е,

то можно производную всегда интерпретировать как не­

кую «скорость». Пусть дана функция y — f(x). По аналогии с п. 27 средней скоростью изменения у по сравнению с х при изменении х

на величину

Да; можно считать отношение ѵ,ср

Ду

Скоростью

Ах

изменения у

при

данном

значении

х естественно

назвать предел

этого отношения

при стремлении

Да: к нулю: lim vcp= lim

 

 

 

 

Ах^О

Ах^0^Х

т. е. как раз производную от у по х.

 

 

Из определения производной вытекает схема ее вычисления.

Пусть дана функция у =

/ (х). Фиксируем х, даем независимой

переменной х приращение

Ах, находим соответствующее прираще­

ние функции Ау — / (х +

Да:) — / (а:). Составляем отношение Ду

к Ах. Находим предел этого отношения и получаем в соответствии

с формулой

(3) производную.

 

 

 

 

 

П р и м е р

1.

Если у =

с, то Ау =

0,

Аѵ

0 и у' =

0.

Следователь­

■— =

но, производная постоянной равна нулю.

Ах и у' — 1.

 

 

П р и м е р

2.

Если у =

х, то Ау =

Ах) — sin х =

П р и м е р

3-

Если у = sin х,

то

Ау = sin (х +

Используя непрерывность cos х и формулу (12) п. 16, получим

у' = 2 lim — .

2 • lim cos ( *+ -^Л = cos х.

 

 

 

Ах^о

Длг-ѵо

 

\

^ >

 

 

Теорема

(о

непрерывности

дифференцируемой

функции).

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна.

Пусть в точке х0 данная функция у = f (х) имеет производную

/' (х0). Требуется доказать, что в этой точке функция непрерывна,

т.е. выполнено условие: Ау -> 0 при Да: ->- 0.

До к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим Ах = х — хй и соответ­

ствующее

приращение

функции Ду — f (х) — / (а:0). По теореме

о

пределе произведения ограниченной величины на бесконечно

малую при Да: 0 имеем

 

 

Ау =

• A x-> f (х0) *0 = 0,

и

теорема

доказана.

 

П р и м е ч а н и е . Обратное утверждение неверно, что показывают примеры.

П р и м е р

6.

у — I X |

есть функция, непрерывная в

точке XQ = 0.

По она но имеет производной в этой точке. Существует производная справа

(т. е. при Ах

 

0) /' (+0) =

lim — =

1 и производная слева (т. е. при Дж <; 0)

/' (—0) =

 

_\х

= —1, но они не равны между собой.

 

 

lim

 

 

 

П р и м е р

7.

 

Кривая растворимости сернокислого натрия Na2S04

имеет вид, изображенный на рис. 21. По оси ординат отложено процентное

содержание соли в растворе. При температуре Ѳ4 касательная слева не

совпадает с касательной справа.

 

 

 

 

 

29.

 

Основные

правила

дифференцирования.

Пусть

и (х) и

V (X) — дифференцируемые

функции.

 

 

 

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

 

 

 

(си)’ =

си'.

 

 

 

(4)

 

 

 

Действительно,

 

пусть

у = си(х),

 

 

 

где с—постоянная. Приращению неза­

 

 

 

висимой переменной Да: соответствует

 

 

 

приращение функции Ду

 

Au.

По­

 

 

 

этому A3? = с A3?

 

и

после

перехода

 

 

 

в этом

равенстве

 

к

пределу

при

 

 

 

Дж->0

получим

равенство

(4):

О

в,

В

Н т Aÿ

 

с lim

 

= си' (х)

 

 

Рис. 21.

 

л*-о Дж

 

 

 

 

 

 

л^о

 

 

 

Ѵ'

 

 

 

 

 

2.

 

Производная суммы двух дифференцируемых функций суще­

ствует и равна сумме их производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(и + ѵ)' = и' + ѵ'.

 

(5)

Пусть

у

= и (х) + V (х).

Тогда

Ду = и (х + Ах) + ѵ (х + Ах) —

— и(х) — и (х) =

[и (х +

Ах) — и (я)] -Г [у (ж + Ах) — ѵ (ж)] = Au + Ду.

Поэтому

A3/

ілСС

-

f -

и после перехода в этом равенстве к

пре-

делу при

 

A3/

 

 

 

 

(5).

 

 

Ах-х-0

получим равенство

 

 

П р и м е р 1. (жз-f-sin ж)'= (ж2)'-ф (sin ж)'= 2ж + cos ж.

Правило дифференцирования суммы двух слагаемых распро­ страняется на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых, что доказывается аналогично.

3. Производная произведения двух дифференцируемых функций существует и равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е. имеет место формула

(иѵ)‘ = и'ѵ -\-иѵ\

(6)

Пусть у — и (х) V(х). Тогда Дг/ — и (ж + Дж) ѵ(ж + Ах) — и(х)ѵ (х).

Здесь и(х + Аж) =~ц(х) + Au, и (ж + Дж) = и (ж) + Ди. Следова­ тельно, Дг/ = VДи -f- и Au 4 Au • Au и

* 1» P* Aw

I Au

»

Aw * I

f, , f

? -= І Г „ №

" + “ ^

+

і Г ЛС

= “ і’ + “1'-

Третье слагаемое в квадратной скобке стремится к нулю, по­ тому что величина ограничена (как переменная, имеющая

предел), а Au — бесконечно малая (что следует из дифференци­ руемости ѵ).

П р и м е р 2 - ( ж 2 s i n х ) ' = ( х 2 ) ’ s i n ж - j - x ï ( s i n Х У = 2 ж s i n х Щ х 2 c o s х .

4.

Производная

частного

двух

 

дифференцируемых

функций

и (х) и

и (х)

при V (х)

=h 0 имеет следующее выражение.-

 

 

 

 

(т У

_ _ и

и — и V

 

 

 

 

 

( 7 )

 

 

 

 

V2

 

 

 

 

 

Пусть г/ = — . Тогда Ау

и 4 - А и

 

и A u — и А ѵ

И п оэтом у

y+ Ди

и

и(п + Ди)

 

\ ^ - ѵ - -u Av'

 

 

 

 

у' — lim

[u (u

Au)] --- u

' v

— u v ' ,

так

как

Ди

стре­

A^ O LA*

A x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мится к нулю вместе с Дх, что следует из дифференцируемости ѵ.

Пр име р

3• ( —

‘ X C O S X — S i n X

 

 

 

 

 

)'■

 

xi

 

 

 

 

 

 

5.

Производная

сложной

функции у = /

(<р (х)),

составленной

из дифференцируемых функций у — / (и) и и =

<р (ж), существует

и равна произведению производной внешней функции / (и) по проме­

жуточному аргументу и на производную этого аргумента по неза­

висимой

переменной х

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У х ~ У и ‘ ^ х .

 

 

 

 

 

( 8 )

Выведем формулу (8). Имеем у = / (и) и и =

<р (х). Фиксируем

ж, даем независимой переменной х приращение Дх.

При этом и

получит приращение Ди = <р (х + Дх) — ф (т),

а у получит соот­

ветствующее

приращение Дг/ = / (и +

Ди) — / (и).

Из

равенства

у'и = lim

следует, что —

=

г/û +

а

и Дг/ — i/ÛAu +

аДи,

где

Au-*О &U

 

Ли

 

 

 

 

 

 

 

 

переменная а бесконечно мала при Ди -> 0. Заметим сразу же, что при стремлении Дх к нулю будет стремиться к нулю как Ди (что следует из дифференцируемости и), так и переменная а. Величина

ограничена как переменная, имеющая предел. Поэтому полу­

чим

П р и м е р

4.

у = sin х2 есть тригонометрическая функция от степен­

ной и по формуле

(8) имеем у' — cos х2 (х2)' = 2х cos х2.

II р и м е р

5.

у = sin2 Xесть степенная функция от тригонометрической,

и поэтому у’ =

2 sin X (sin х)’= sin lx‘.

6.

Производная

о б р а т н о й

 

функции.

Следующая

тео­

рема позволяет найти производную обратной функции, зная произ­

водную прямой функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у =

/ (ж)

Теорема. Если строго монотонная в [а, Ъ] функция

имеет при некотором значении х 0

отличную от нуля производную,

то обратная функция х =

ф (у) имеет в соответствующей точке-

у0 производную

х у,’

равную

единице,

деленной

на у х:’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Дж и

Ду

соответ­

ствующие приращения х и у, т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дж =-- ср (у0 -}- Ду) - ф(у0),

Ду --=f {х0+ Дx)—f(xe).

 

 

 

 

Заметим, что Ду вызывает приращение Ах,

но можно считать

и наоборот, что Дж вызывает приращение Ду.

Оба эти прираще­

ния отличны от нуля

и мы имеем

 

 

= -д- .

Перейдя

в

 

этом

равенстве к

пределу при

стремлении

 

Ах

 

 

 

 

 

 

 

 

Ду к нулю (заметим, что

Ах и Ду вместе стремятся к нулю

 

(см. п. 25)),

получим

фор­

мулу (9)

 

 

 

 

Ах

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

AJL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ді/->-0

Âÿ

lim

Ух '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дл:-*0

Ах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

6.

Пусть у =

V х. Обратная функция х =

у 2 имеет произ-

водную

х’у =

2у.

По

формуле

(9)

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

если

X

0.

 

имеем уV= — =

-----7=-,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ух

 

2у

 

2 Ÿ x

 

 

 

 

 

 

7.

Правило дифференцирования функции, з а д а н н о й

п а ­

р а м е т р и ч е с к и .

Пусть

зависимость у от х не задана

непо­

средственно, а вместо этого задана зависимость обеих переменных

ж и у от некоторой третьей, вспомогательной, переменной (называ­

емой параметром): ж =

ж (t), у

== у

(t)

при а

<

t <

ß. Предполо­

жим, что функция X =

ж (t)

имеет

обратную

функцию t —

 

t (ж).

Тогда,

очевидно, у является функцией от

х:

у — у (t (ж)) =

 

/ (ж).

Если функции ж (t), у (t) и t (ж) имеют производные, то и функ­ ция / (ж) имеет производную. Действительно, по правилу дифферен­ цирования сложной функции имеем у'х = y r t’x, где (согласно пра-

вилу дифференцирования обратной функции) tx = — . Поэтому

х(

при x't=h 0 получаем окончательно

Смотрите также файлы