ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 157
Скачиваний: 2
При |
х~р>с имеем |
Ах==х — с > 0 и |
-^-=s;0. |
Следовательно, |
И т 4 F = / '( C+ 0 )^ 0 . |
|
|
||
Д-ѵ-*-т о ах |
|
|
0 и /' |
(с + 0) sc 0, за |
Сопоставляя неравенства /' (с — 0) > |
||||
ключаем, что /' (с) = |
0. |
|
|
|
Геометрический смысл заключения теоремы состоит в том, что |
||||
касательная к графику функции / (х) в точке с |
параллельна оси |
|||
абсцисс |
(рис. 22). |
|
|
|
П р и м е ч а н и е . |
При доказательстве теоремы существенно исполь |
|||
зованы все ее условия. В частности, если бы наибольшее (или наименьшее) значение достигалось не во внутренней точке, а на границе промежутка (а, Ь), при соблюдении условия существования производной (конечно, односторон ней) в этой точке, то обращение этой производной в нуль могло не иметь места.
|
П р и м е р. |
Функция |
у = |
|||
= sin X в |
промежутке 0 ^ |
х ^ |
я/2 ^ |
|||
достигает |
в |
точке х0 = 0 |
наимень |
|||
шего значения, |
но ее производная в |
|||||
этой |
точке |
не |
равна нулю: |
|
||
у'й = |
cos 0 = 1 . |
|
|
|
||
33.Теорема Ролля*. Если
функция |
f (х) 1) |
непрерывна |
0 |
|
|
||
в |
замкнутом |
промежутке |
Рас. 23. |
|
|||
la, b], 2) дифференцируема по |
|
|
|||||
крайней мере в открытом про |
на |
концах промежутка |
равные |
||||
межутке |
(а, Ь), 3) |
принимает |
|||||
значения |
f (а) = / |
(Ъ), |
то внутри |
промежутка (а, |
Ъ) суще |
||
ствует точка с такая, |
что |
|
|
|
|||
|
|
|
|
/* (с) == 0. |
|
(1) |
|
Геометрическое содержание теоремы Ролля состоит в том, что если выполнены условия теоремы, то внутри промежутка (а, b) существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рис. 23).
Алгебраическое значение теоремы таково: между двумя кор нями дифференцируемой функции имеется корень ее производной (хотя бы один). Под корнем функции мы понимаем значение аргу мента, при котором эта функция обращается в нуль.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы Р о л л я . По теореме Вейерштрасса (см. п. 24), функция / (х) (непрерывная в замкну том промежутке) достигает в этом промежутке своего наибольшего значения q и своего наименьшего значения р. Пусть эти значения функции достигаются соответственно в точках с2 и с1 промежутка
Іа, Ъ), |
так что / (сД = |
р, f (с2) = |
q. Возможны только два случая. |
||
С л у ч а й |
1. Обе точки с1 и |
с2 совпадают с концами проме |
|||
жутка |
\а, Ь]. |
Тогда |
из третьего |
условия |
теоремы следует, что |
р = q |
и что функция |
/ (х) постоянна в |
[а, Ь]. Следовательно, |
||
в любой внутренней толке этого промежутка производная /' (х)
равна нулю. |
точек с1 или с2 не совпадает |
С л у ч а й 2. Хотя бы одна из |
|
ни с одним из концов промежутка |
[а, Ь]. Обозначим эту точку с. |
Она находится внутри промежутка (а, Ь) и в ней функция дости |
|
гает наибольшего или наименьшего значения. Кроме того, |
в точке |
||
£ |
существует |
производная функции. Согласно теореме |
Ферма, |
в |
этой точке |
/' (с) = 0. Теорема доказана. |
|
П р и м е ч а н и е . При доказательстве теоремы существенно исполь зовались все ее условия. (Читателю полезно проследить, где и как использо вались эти условия.) В частности, если / (х) не дифференцируема хоть в одной точке промежутка (а, Ъ) при соблюдении остальных условий теоремы, то внутри (а, Ъ) может не быть точки, в которой производная была бы равна ну-
лю. Это показано в примере 7 п. 28 — в точке Ѳі функция не имеет производной.
Рис. 24.
НЬ)
ь
34. |
Теорема |
Лагранжа * (о |
среднем |
значении |
в дифферен |
циальном исчислении). Если функ ция / (X) 1) непрерывна в замкну том промежутке [а, Ъ], 2) диф ференцируема по крайней мере в открытом промежутке (а, Ъ), то внутри промежутка (а, Ъ) суще ствует такое значение с, что вы полняется равенство
1 г 1 = Г ( с ) . |
(2) |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим вспомогательную функ
цию |
ф (х) = / (X) + Хх. |
Функция ф (х) удовлетворяет |
первым |
двум |
условиям теоремы |
Ролля при любом постоянном |
X, как |
сумма двух непрерывных и дифференцируемых функций / (х) и Хх. Она удовлетворяет третьему условию теоремы Ролля ф (а) =
= |
Ф (Ь) при специальном выборе числа X из условия / (а) + Ха — |
= |
/ ( & ) + ХЬ, т. е., если X = — [/ (Ь) — / (а)] : (b — а). При та |
ком X функция ф (х) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, а поэтому в силу заключения этой теоремы внутри промежутка (а, Ь) существует значение с, при котором ф' (с) = 0. Последнее
равенство можно записать в виде /' (с) -f- X = |
0, так как ф' (х) = |
= f (х) + X. Отсюда следует равенство (2). |
Теорема доказана. |
П р и м е ч а н и я . 1. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля, так как если f (а) = } (Ь), то из (2) следует (1).
2. Геометрический смысл заключения теоремы Лагранжа состоит в том, что на графике AB функции / (х) есть внутренняя точка С такая, что каса тельная к графику в точке С параллельна хорде AB. Действительно, левая
часть равенства (2) численно равна угловому коэффициенту хорды АП, а пра вая часть — угловому коэффициенту касательной в точке С. Из равенства угловых коэффициентов вытекает равенство углов наклона хорды и касатель ной и параллельность этих линий (рис. 24).
Формула (2) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений. Из нее непосредственно следует соотноше ние
f (Ь) — / (а) = /' (с) (Ь а). |
(3) |
Заменив здесь а на х0, b на х, Ъ — а на х — х0, получим
f{x)—f(x0) = f(c){x —x0). |
(4) |
Обозначив Aх = х —х0, Ay —f(x) — /(х0), получим
Ay = f (с) Ах. |
(5) |
Формулы конечных приращений (3), (4) и (5) показывают, что
приращение функции равно произведению соответствующего при ращения аргумента на значение производной в некоторой средней точке.
Промежуточное между х 0 я х значение аргумента с в формулах {4) и (5) можно представить в следующем виде:
|
|
с = |
XQ-J- Ѳ (х XQ), |
(6) |
где О <Ѳ |
< 1 - |
Действительно, число с заключено между х0 и х. |
||
Поэтому |
имеем |
0 < Ѵ~^ ~° |
Остается |
обозначить средний |
член этого неравенства буквой Ѳи мы прямо отсюда выведем соот ношение (6).
С л е д с т в и е |
и з |
т е о р е м ы |
Л а г р а н ж а . Если |
/ ' (х) ES 0 в промежутке |
[a, b] (конечно, в точках а я b речь идет |
||
об односторонних производных), то в этом промежутке функция
/(х) постоянна.
До к а з а т е л ь с т в о . По условию функция /' (х) диф ференцируема в [а, 6], и поэтому она непрерывна (см. п. 28).
Функция / (х) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа в промежутке [а, х], где х — любая фиксированная точка про межутка (а, 6]. Формула Лагранжа (4) для функции / (х) я про межутка [а, х] имеет вид
/(*) —/(«) = /'(с)( х — а) .
Здесь по условию /' (с) = 0, и поэтому справедливо равенство / (х) = / (а). Оно имеет место для любого рассматриваемого х. Следовательно, функция / (х) сохраняет в промежутке [a, b] постоянное значение, равное / (а).
Встречается другая формулировка следствия — если производ ные двух функций тождественно равны в некотором промежутке, то сами функции либо равны, либо отличаются постоянным слагаемым.
Действительно, |
если ф' (х) = |
ф' (х) в |
[а, |
Ъ], |
то [ф (х) — |
|||||
— ф (х)Ѵ = 0 и ф (х) — ф (х) = сѵ Поэтому |
ф (х) |
= ф (х) + с1. |
||||||||
35. |
Два |
дифференциальных |
уравнения. |
Дифференциаль |
||||||
ным уравнением называется уравнение, содержащее производную |
||||||||||
искомой функции (см. гл. XIII). Здесь |
рассмотрены два важ |
|||||||||
ных примера, |
в которых решения |
дифференциальных уравнений |
||||||||
получены с помощью следствия из теоремы Лагранжа (см. п. 34). |
||||||||||
П р и м е р |
1. В естествознании встречаются переменные у (х), скорость |
|||||||||
изменения |
которых у' (х) |
при каждом |
значении |
х |
пропорциональна у (х): |
|||||
|
|
|
|
У’ = ку, |
|
|
|
|
(7) |
|
где к — постоянная. |
Это |
соотношение |
есть пример |
дифференциального |
||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сначала в виде |
Желая найти у (х) из этого уравнения, представим (7) |
||||||||||
= (кх)’. Отсюда следует (см. п. 34), что In у = |
кх + |
In с, где с — постоянная. |
||||||||
Поэтому функция, удовлетворяющая данному уравнению, имеет вид у =секх. |
||||||||||
П р и м е р |
2. |
Найти функцию, удовлетворяющую |
следующему диф |
|||||||
ференциальному |
уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
у"+а2у = 0, |
|
|
|
|
|
|
где а — постоянная. |
Это |
уравнение называется |
уравнением гармонических |
|||||||
нхплебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' Умножим данное уравнение на 2у' и представим результат умножения |
||||||||||
в виде равенства |
(г/'2)' = |
(—а2у2)'. Следовательно (см. п. 34), у'2 = а2а 2 — |
||||||||
— а2у2, гд'іе а — постоянная. Извлекая корень, получим соотношение у' = |
||||||||||
= а V W — а/2, которое можно представить |
в виде |
равенства производных |
||||||||
( arcsin— ) |
)= (ах)'. Итак (см. п. 34), arcsin |
— = ах -ф-ß, |
где |
ß —постоянная. |
||||||
Поэтому именем
у = а sin (ax-j-ß) = а cos ß sin ax-\- a sin ß cos ах.
Обозначив a cos ß = cx, a s i n ß = c2> получим окончательно
^ f
У — C i S i n CLX-\~ £*2 COS Ü X %
Найденная периодическая функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянных с1 и с2, в чем легко убедиться путем прямой проверки.
36. Теорема Коши.* Если функции / (х) и g (х) 1) непрерывны в замкнутом промежутке [а, Ъ\, 2) дифференцируемы по крайней мере в открытом промежутке (а, 6), 3) g' (х) =/= 0 в промежутке (а, Ъ), то внутри (а, Ь) существует значение с такое, что имеет место равенство
f ( b ) - f ( a ) _ f ( c )
g{ b ) —g{a) |
g' (c) |
