Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл (23,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из третьего условия теоремы сле дует, что g (а) Ф g (b), в чем можно убедиться рассуждением от противного. Действительно, если g (а) = g (b), то, по теореме Ролля, примененной к функции g (х) (здесь выполнены все усло вия теоремы Ролля), получается, что g' (сД = 0 в некоторой внут ренней точке сх промежутка (а, Ь). Но это противоречит третьему условию теоремы.

Рассмотрим вспомогательную функцию ф (ж) = f (ж) + 'Я g (ж), где Я — число. Функция ф (ж) удовлетворяет первым двум усло виям теоремы Ролля при любом к как сумма Двух непрерывных и дифференцируемых функций. Она удовлетворяет третьему

условию теоремы Ролля ср (а)

= ф (Ь), если Я подчинено условию

/ (а)

kg (а) — f

(b) +

kg (b),

из

которого

следует, что

к =~

= — g (ь)~~^ (1) '

^ри таком выборе числа к функция ф (ж)

удо

влетворяет всем трем условиям теоремы Ролля. Поэтому в силу

заключения этой теоремы существует внутри (а,

Ь) число с такое,

что имеет

место

равенство

(с) +

kg' (с) = 0 ,

или

—к =

(с)

которое

совпадает с (8).

( С)

Лагранжа есть частный случай теоремы

Заметим, что теорема

Коши,

соответствующий

случаю

g (х) = х.

и (х)

37.

Раскрытие

неопределенностей.

Пусть

функции

V (ж)

определены

в некоторой окрестности точки а. Рассмотрим

при

ж -> а следующие

выражения:

и V,

— ѵ,

—, и .

Условимся в следующем, Назовем 1) неопределенностью вида

отношение ~

двух

бесконечно малых

(случай и

0, »

0),

2) неопределенностью

вида

отношение

Двух

бесконечно

больших

(случай

и —- ►оо,

ѵ —►оо),

неопределенностью

вида

оо — оо разность

и — ѵ двух бесконечно больших

одного

знака

(случай и

оо,

V -*■ оо),

неопределенностью вида 0 • оо про-

изведение иѵ бесконечно малой на бесконечно

большую (случай

и —>- 0,

V -> оо).

Степенно-показательное выражение иѵ

назы

вается 5) неопределенностью вида 0°, если и

ѵ -►0, 6) неопре

деленностью вида

оо°, если и -> оо,

ѵ -> 0,

7) неопределенностью

вида

1°°,

если

и —►1,

ѵ -> оо.

Раскрытъ неопределенность того или иного вида — это значит

найти

предел соответствующей функции.

Рассмотрим прежде всего случай отношения бесконечно малых. Теорема Лопиталя.* Предел отношения двух бесконечно малых

существует и равен пределу отношения их производных-.
lim üi£L = lim iilifl	О)
	О)

(в этом состоит так называемое п р а в и л о Л о п и т а л я ) ,

если выполнены следующие условия: 1) функции и (х) и ѵ (х) опреде лены, непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности

{а,	ß) точки a u ѵ' (х) Ф 0 в	(а, ß); 2) lim и (х) =	lim v (х) = 0;
	существует предел lim	х~*а	х-+а
3)	существует предел lim	_

х-+а ѵ (х)

Приведем доказательство теоремы для случая, когда а — число. Функции и (х) и v (х) удовлетворяют всем условиям теоремы Коши в промежутке между а и х, где х фиксировано в (а, ß). Поэтому внутри этого промежутка существует такое число с, что

и ( х ) — и ( а )	к ' ( с )	т	и ( х )	и ’ (с )
ѵ ( х ) — v ( а )	ѵ ' ( с )	И	v ( х)	ѵ ' ( с ) ^ ’

так как согласно непрерывности и (х) и ѵ (х) в точке а и второго условия теоремы, имеем и (а) = ѵ (а) = 0.

При стремлении х к а переменная с, заключенная между х и а, тоже стремиться к а. При этом в силу третьего условия теоремы существует предел отношения функций и он равен

1іт-ц ^ = 1іт и' (с)	lim ц' (х) .
ѵ ' ( с )	ѵ>(ж)

Последнее равенство основано на независимости величины пре дела от обозначения независимой переменной. Теорема доказана.

П р и м е ч а н и е .			Правило		Лопиталя верно*		и	в	случае, когда а —
символ оо.
„	. ..		sin *		(sin*)' ..			.
П р и м е р	1-	lim -------- =		lim !— г-г- =		lim cos* =		1.
		x->Q	x	* - > 0	x	x-*-o
П р и м е р	2.	lim	1 —sin *		lim	—cos x	lim		S i n X
					я	2x —я		n	2 ’
					* T			2
П р и м е р	3.	lim	ln (l +	æ) ; lim —1		= 1.
				x^o 1

Сформулируем теорему, относящуюся к случаю неопределен-

о о

ности вида — .

о о

Теорема. Если 1) и (х) и v (х) определены и дифференцируемы при всех х Ф а в окрестности точки а, где ѵ' (х) Ф 0, 2) lim и (х) —

		(ж)	х-+а
= о о , lim v (х) = о о , 3) существует предел lim	- ,	(ж)	то суще-
= о о , lim v (х) = о о , 3) существует предел lim	- ,	- 1,	то суще-
ѵ_^/т	^	(#)

* Доказательство см. в работе Г. М. Фихтенгольца «Основы математиче ского анализа», т. I, п. 120.

ствует предел отношения и (х) к ѵ (х) и он равен пределу отно шения производных этих функций

		lim и (#)
		х -> а	ѵ(х)
		х -> а
, ,.	хп	..	пхп~х
П р и м е р 4. lim	—- = lim — -—
А	ЛЛ	* -»■ о о	рХ
X —►о о	е	* -»■ о о	с

lim	и' (х)	(10)
х-*-а	ѵ' (х)
х-*-а
	Л.	п\

= . . . = hm —-7- = 0.

Х - + 0 0

Следовательно, степенная функция хп растет медленнее пока

зательной функции	ех.		в и д а			0 • оо	приводится		к
Н е о п р е д е л е н н о с т ь
неопределенности вида -jj- или			путем			преобразования		произ
ведения функций иѵ к виду отношения и ѵ — и/—- или и V =								ѵ]— .
П р и м е р 5- lim хпе~х = lim		Х П
		—j - = 0 .
X -*■ с о	X -*■ о о
Н е о п р е д е л е н н о с т ь			в и д а		оо — оо можно привести
к неопределенности вида -jj- путем представления разности								и —	ѵ
в виде отношения
и _ у	*		\ ѵ		и	J I UV
	1	1
	и	V
Н е о п р е д е л е н н о с т и			в и д а			1°°, оо°	и 0°	можно
раскрыть с помощью тождества			иѵ =	еѵ ln		которое имеет		место
при условии 1 ф и > 0 . Перейдем				в	этом тождестве к пределу

при X ->■ а; предполагая существование предела переменной					v lnu
и учитывая непрерывность		показательной функции, получим
	limu° = e*, где		q = lim (v ln и).		(11)
	X-+CL		X-+CL
Величина	v Іпм представляет		неопределенность	вида	оо° • 0.
П р и м е р	6. lim хх = еі —1,	так			1
П р и м е р	6. lim хх = еі —1,	так	как g= lim х ln х —lim (ln x)j— -
	X - * 0		* -i-0	X - + 0	x

= —lim 2 = 0.

*-o

§6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

Спомощью производной можно изучить различные свойства функций. Ниже доказаны теоремы о тех или иных свойствах функций. Некоторые из теорем содержат необходимые условия, другие — достаточные условия, третьи — необходимые и доста точные условия истинности математического предложения, пред ставляющего заключение соответствующей теоремы. Выясним точный смысл этих понятий.

Необходимым условием для истинности какого-либо предложе ния называется всякое условие, без осуществления которого это предложение заведомо неверно.

П р и м е р 1. Для делимости числа N на 6 необходимо, чтобы а) число N было целым, б) число N было четным. Каждое из этих условий является не обходимым условием для делимости N на 6.

Достаточным условием для истинности какого-либо предло жения называется всякое условие, из которого следует, что это предложение верно.

П р и м е р 2. Для делимости числа N на 6 достаточно, чтобы число N делилось на 12, или, чтобы число N делилось на 6к, где к — любое натуральное число.

В нашем примере речь идет о математическом предложении «число N делится на 6». Это предложение может быть истинным (верным) или неверным в зависимости от числа N. Если выполнено


достаточное		условие: N = 6к,		то предложение верно — число
N	делится на 6.		Если нарушено любое из необходимых условий
(например, N		— нецелое число), то предложение неверно — число
N	не делится на 6.			называют	п р и з н а к о м .
	Достаточное		условие иногда
	Необходимым		и достаточным условием		называется условие,

являющееся необходимым и вместе с тем достаточным для истин ности рассматриваемого предложения. Необходимое и достаточ

ное	условие		иногда называют к р и т е р и е м .
Так, для делимости числа N на 6 необходимо и достаточно,
чтобы оно делилось на 2 и на 3.							функции. Условия				монотонности
38.		Условие			постоянства
функции.					того чтобы		в	промежутке		[а,	Ъ] функция
Теорема 1. Для
f (х) сохраняла постоянное значение, необходимо										и	достаточно,
чтобы было выполнено условие
					/*(х) =	0 при		а ^ х ^ Ъ .			(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о .						Н е о б х о д и м о с т ь .					Если / (х)
постоянна в			[а,	Ъ],	то она имеет производную, и эта производная
тождественно			равна нулю			(см.	и. 28).
Д о с т а т о ч н о с т ь .						Если / (х) в каждой точке промежутка
[а, 6] имеет равную нулю производную, то в силу следствия из
теоремы Лагранжа					функция / (х)		сохраняет		в [а, йі		постоянное
значение.		Теорема			доказана.
Установим условия монотонности функции (см. п. 20). Пусть
функция у = / (х)					определена в		промежутке		[а,	Ь].	Рассмотрим
две точки X и х 0 этого промежутка и соответствующие прираще
ния	аргумента			Ах = х — х 0 и				функции	Аг/ = / (х) — / (х0).
Теорема 2. Если в промежутке								[а, Ъ] функция у — / (х) диф

ференцируема и возрастает (убывает), то ее производная в этом промежутке не отрицательна (не положительна), т. е.

Г(х)5* 0 [ / » ^ 0 ] .

(2)

Действительно, если / (х) возрастающая, то Дг/5>0 при ДжХ)

и Дг/<0 при Дж<0 (см. и. 20). В обоих случаях

а сле

довательно, /' (ж) - lim 4^- 5а 0.

Если

же

f (х)

убывающая, то

| | <

Дж-*0

а0 Г ,( х ) ^ о .

Теорема 3.

Если функция

y = f(x)

непрерывна в [а, b] и диф

ференцируема

в (а, Ъ), причем

0],

(3)

f { x ) >

l f " ( x ) c

то эта функция возрастает (убывает) в

[а,

6].

Действительно, согласно формуле конечных приращений (см.

п. 34)

для произвольных

X и

х 0 из

[a,

имеем

ДУ = f

(с) Ах.

(4)

Следовательно, если /'

(і)

> 0

в (а, Ъ)

и Ах

> 0 ,

то Ду > 0

и данная функция возрастает в [а, Ь]. Если же f

(х) <<0 лАхф О ,

то

Ді/ < 0 и функция убывает.

П р и м е р

1. Функция у =

ж3

всюду возрастающая по определению

этого понятия. Ее производная у'

За;2 всюду положительна,

за исключе

нием точки х0 =

0, где она равна нулю.

П р и м е ч а н и е . Производная строго монотонной функции не можеТ обратиться тождественно в нуль ни в каком промежутке монотонности. Дей ствительно, пусть / (х), например, возрастает в (а, b) и /' (а;) = 0 в (а, Ь). Эти условия несовместимы, потому что из второго условия следует постоян ство / (х) в (a, b), а согласно первому условию функция не постоянна.

П р и м е р		2.	Функция			у = ctg х убывает всюду,		где sin х ф 0, по
тому что при этом условии у						1	< 0 .
						sin2
П р и м е р		3.	Функция у				X		2е2х ►> 0,
						= е2х всюду возрастает, так как у' =
П р и м е р		4.		Найти промежутки			возрастания и	убывания	функции
1	1		Для этого находим производную данной функции у' —
у = — X*---- —X 2 .
а;3	X = X (х — 1)(а; +				1).	Производная обращается		в нуль в точках
ад	1, х 2	0, х3		1.	Выясним знак производной в промежутках изме
нения	переменной		х,	которые		указаны	в первой строке таблицы. Далее