Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Заметим, что знак производной

позволяет судить не

о знаке функции,

а о характере ее изменения.

\х\.

Для этого рассмотрим

П р и м е р

5. Доказать неравенство sin |ж| ^

функцию / (х) =

X — sin ж и ее производную /' (х) =

1 — cos х.

При всех х

величина /' (х) Ss 0, причем равенство нулю имеет место лишь в изолирован­

ных точках. Поэтому / (х)

всюду возрастает. При ж0 = О имеем / (ж0) =

0.

Следовательно, при х > 0 имеем / (х)

=

х — sin і > 0

и поэтому sin х <; х.

При X <( 0 имеем / (і) <; 0 и поэтому sin х >

х, a sin (—х)

—х.

Объединяя

результаты, получаем sin \х\ ^ |ж| при всех х.

39.

Максимум

и минимум

функ­

ции.

Пусть

функция

/

(X)

непре­

рывна

в

промежутке (а,

Ь) и х 0 —

точка этого промежутка.

Функция

О п р е д е л е н и е .

/ (X)

имеет в точке х 0 максимум (ми­

нимум),

если

значение

функции

/ (X) в точке х 0является наибольшим

(наименьшим)

среди

ее значений

в

х какой-либо окрестности

точки х 0.

Это значит, что существует такое

летворяющих

условию

число ô > 0, что

для

всех х,

удов-

0 <і\х

— х й \ < б ,

выполняется

нера-

венство

f(x )< f(x о)

[f(x )> f(x 0)].

(5)

Условие (5) можно

представить соответственно в виде

Ду = /(* )—Н хо)<&

[Ду>0].

(6)

Если функция имеет в точке

х 0 максимум

или

минимум,

то

говорят, что она имеет в этой точке экстремум, а сама точка

х 0

называется точкой экстремума

функции

(рис. 25).

f (х) =æs ^2 — sin -j- ^

при х ф О,

/(0) = 0.

(7)

Можно доказать*, что в точке х0 =

0

данная функция непрерывна и имеет

минимум. Ее производная /' (х) — 2 x

^ 2 — sin

^ + cos~

в любой окрест­

много раз. А сама функция / (х) не монотонна

ни слева, ни справа от хп

(рис. 26).

Теорема.

Если

дифферен­

цируемая в

окрестности точ­

ки х 0

функция / (X)

имеет в

этой

точке экстремум, то про­

изводная /' (х) в точке х 0 равна

нулю:

/'(*„) = 0.

(8)

В

сущности это другая фор-

Рис. 26.

-

0.

Значения аргумента, при которых производная равна нулю

или имеет

разрыв, называются критическими значениями.

П р и м е р . Функция у = х ^ г (х + 5) имеет критические значения х 1 =

=

—2 и i j =

0, потому что производная у' = 5 (х + 2)/Зу х в точке х 1 рав­

нус при переходе через точку

ж0», если в некоторой окрестности

точки х 0 выполняются неравенства: /' (х) >- 0 при х <

х 0 и /' (х) < 0

при X > ж 0.

Аналогично, если /' (х) < 0 при х < х 0 и

/' (х))>0

при ж > г 0,

то

производная

меняет знак минус

на

плюс при

переходе через

х 0.

у = / (х) непрерывна

и дифферен­

Теорема

1. Пустъ функция

цируема в некоторой окрестности критической точки х 0 (в самой

точке х 0 производная может не

существовать). Если

при пере­

ходе через точку ж0 производная /'

(х) меняет знак плюс

на минус,

то в

точке х 0 функция имеет максимум. Если же при переходе

через

точку ж0 производная меняет знак минус на плюс, то в точке

для / (х) и промежутка [х, х0]: Ау = /' (с) Ах, где Ах

=

х — х 0,

Ау

=

Î (х)

— / (ж0), X -<с О

0. По условию при х < іх0

f

(с) > 0

и

поэтому

Ду

< 0 .

Если же X >

х 0, то из аналогичной формулы Лагранжа и усло­

вия /' (ж) < 0 следует, что Ду

< 0 . Итак, в обоих случаях Ау < 0 ,

и

в

соответствии с определением понятия максимума

функция

/ (х)

имеет максимум в точке х 0.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Отсюда следует п р а в и л о исследования функции на экстре­

П р и м е р 1. Для исследования на экстремум функции у =

х2/<3 (х + 5)

находим ее критические значения (см. п. 39): х г =

—2 и х2 =

0. Затем со­

гласно правилу последовательно заполняем строки таблицы

X

—оо<[г<('—2

ад = —2

- 2 < ж < 0

ж2 = 0

0 О < < + ° °

у '

+

0

—

оо

+

Следовательно,

в точке х1 данная функция имеет максимум, а в точке х.г

она имеет минимум,

причем / (я-,) = —3 {^4, / (х2) = 0.

П р и м е р

2.

Дана функция у = х3 — Зж+ 2. Найти промежутки воз­

X

—оо<^х<С_—1

Х 1 — — 1

- 1

0 <

1

*2 = 1

1 < * < + оо

у'

+

0

—

0

+

У

Возрастает

Максимум

Убывает

Минимум

Возрастает

График функции изображен на рис. 27.

Теорема

2. Пустъ функция / (х) имеет в точке х 0 и ее окрест­

ности непрерывные первую и вторую производные, причем f

(ха) =

= 0,

/" (х 0) ^ 0.

Тогда

1)

функция /

(х)

имеет в точке х 0 мини­

мум,

если

Г (х о)>0;

(9)

2) функция / (а:)

имеет в точке х 0

максимум,

если

/ " Ы < 0.

(10)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

выполнено

условие (9). По усло­

вию /" (ж)

непрерывна

в точке х 0,

поэтому в

силу

леммы о сохране­

нии

знака

функции (см. п. 15) ус­

ловие /" (х)

> 0

будет

выполнено

х 0.

В

этой

окрестности

точки

в некоторой

окрестности

точки

х 0 функция

z =

/' (х)

возрастает,

так как

ее

производная

поло­

жительна: z

= /" (х)

> 0 . По условию в

точке х 0 первая про­

изводная равна

нулю. Следовательно,

при переходе через точку

х 0 первая

производная

f

(х) меняет

знак

минус на

плюс,

и по­

вия

экстремума.

П р и м е р

3.

Исследовать

на экстремум

функцию

у = х3 — Зх + 2.

Для этого находим у' =

Зх2—3 и у" = 6х. В точке х1 =

—1 функция имеет

максимум, так как у'

=

0, а у"

0. В точке хг =

1 функция имеет минимум,

так

как у' = 0,

а у" >

0.