Файл: Сахарников Н.А. Высшая математика учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

41. Задачи на экстремум. З а д а ч а 1. На какой высоте h следует подвесить лампочку, для того чтобы в точке А освещенность была наиболь­

шей (рис. 28)

при условии, что расстояние АС =

а задано?

А равна

Р е ш е н и е .

Как

известно,

освещенность

/ в точке

J = k cos ф/г2. Здесь cos

ф = /г/г, г2

= /г2

+ а2. Следовательно,

величина /

есть функция

h,

определенная в области

h ï s 0:

 

 

kh

/ =

(h2-f- а2)3/г

Надо найти такое значение h, при котором величина / максимальна. Иссле­ дуем функцию на экстремум; найдем ее первую производную

/'=/£■ д2

—2/г2

2к

- f = - h

-h

 

(h2

+ a2Ÿ/z

(Л2 + а2)Ѵ2

 

V2

Ѵ г

 

Производная обращается в нуль в точках h±

о:

а

из которых

TZ. II іЪп

'■ 1

 

 

 

 

К2

Г 2

 

X

a-2x

Рис. 30.

Р е ш е н и е .

 

только

/ij

может доставить функции

экстремум.

X

П р и 0< /

h < / /гх

имеем

/ '

Г> 0,

 

а

при

h>>

X

/ ' <

0.

Следовательно,

в

точке/г, =

F2

л*0,7а

 

величина /

достигает

максимума.

 

 

 

то /г

70 см.

 

 

Например,

если

а =

100 сдг,

 

 

З а д а ч а

2. Две среды разделены прямой.

 

Известны

скорости

движения

точки в

средах

 

Ѵі и

у2

 

соответственно.

Данные

точки

А и В

 

(рис. 29) находятся в разных

средах на расстоя­

 

ниях а и соответственно

b

от границы раздела.

 

Расстояние между проекциями этих точек на

 

границу

 

раздела дано

А 1В 1 =

d.

Требуется

 

найти

на

границе

сред точку

С такую,

чтобы

 

время движения

из

И

в

С

 

и

далее в В

 

было

бы

наименьшим.

СВ равно

 

 

Время прохождения пути АС +

 

 

1

У a2-j- £2

1

■Ь2

t (х) = ----

_]-------}' (й_ X)2-

Ѵ 1

 

ѵ 2

 

где X — расстояние А\С. Надо найти такое значение х, при котором функция t (х) имеет минимум. Производная

dt

dx

Уа2 - X 2 V2 V(d —x)2 + b2

обращается в нуль при условии--------\

у

сс _

— --------\

. ---------

d_ос

, которое

 

Ѵ1

а 2 ^ х 2

t72

Y ( d — x ) 2 +

Й2

равносильно следующему:

S i n ф і

ѵі

, где углы фх и

фг

указаны

 

sm ф2

у2

 

 

 

t (х)

имеет именно

рнс. 29. Можно доказать, что при этом условии функция

минимум. Итак, для того чтобы время движения из А в В было минималь­ ным, надо точку С выбрать так, чтобы отношение синусов углов ф, и ф2 было равно отношению скоростей щ и ѵг. Именно такой путь выбирает луч света при движении из А в В.

3 а д а ч а 3. Из квадратного листа со стороною а нужно сделать ко­ робку наибольшего объема (причем уголки выбрасываются и швы свари­

ваются, рис. 30).

 

 

 

 

Р е ш е н и е . Объем ѵ ~ (а—2х)г х, где ж—высота коробки^О <

х <С .

Производная

ѵ' =

а?—8ах +

12ж2 обращается в нуль в точках

хг = а/2

и х2 = а/6. Из них только хг достав­

 

ляет

объему

максимум, потому что

 

при

этом ѵ" =

—4а <С 0.

 

 

 

О т в е т :

х =

а/6.

 

 

42. Выпуклость, вогнутость,

 

точки перегиба.

Пусть

функ­

 

ция / ( X) дифференцируема в

 

промежутке (а, Ъ). Тогда ее гра­

 

фик

имеет касательную

в каж­

 

дой

точке.

 

 

 

 

Кривая называется выпуклой

 

(вогнутой) в промежутке (а, Ъ),

 

если все ее точки лежат ниже

 

(выше) любой ее

касательной в

 

этом промежутке. Говорят, что на участке выпуклости кривая обра­ щена вогнутостью в сторону отрицательных ординат, или вниз (рис. 31). Из этого определения следует, что на участке выпукло­ сти, так же как и на участке вогнутости, касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним каждая свою единственную общую точку — точку касания.

Точки, отделяющие выпуклые части графика функции от его вогнутых частей, называются точками перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой—

над

нею.

 

 

Для решения вопроса о направлении вогнутости кривой, задан­

ной

уравнением у = / (х), рассмотрим в

окрестности точки х 0

знак

разности у — У между ординатой

графика функции у =

= f

(х) и ординатой У точки (х, У)

касательной к этому графику

в точке М 0 (х 0, у о). Предположим

существование в этой окрест­

ности второй производной /" (х). Величину У всегда можно пред­

ставить в

виде

У = AB + ВС = / (х0) + f

(х0) (х — х 0).

Поэтому разность ординат, преобразованная с помощью фор­

мулы конечных

приращений, будет равна

 

y — Y =

f(x) — f (х0) —/' (х0) (X — х0) = [)' (с) -

/' (agi (х - ад.

Используя еще раз формулу конечных приращений применительно к функции /' (ж), получим

У— Y — f (Cj) (z — x0) (с — х0),

где произведение (х — х 0) (с — х 0) всегда положительно. Следова­ тельно, знак левой части вполне определяется знаком второй

производной:

если у" )> 0, то у >• Y и кривая вогнута, если

у"

< 0 , то у

<

7 и кривая выпукла. Таким образом, мы пришли

к

следующему

утверждению.

Теорема. Пустъ в промежутке (а, Ъ) функция / (х) имеет вто­ рую производную, которая сохраняет знак. Тогда кривая у — f (х)

 

в

этом

промежутке

выпукла,

 

(вогнута), если в (а, Ъ) выпол­

 

нено условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/* (* )< о

[Г(х)>0].

 

(И)

 

 

 

П р и м е р

1.

Кривая

у =

е~х

 

всюду

вогнута,

потому

что

ее

вто­

 

рая

производная

у" =

е~х

всюду

 

положительна.

 

Кривая

у

=

In х

 

 

 

П р и м е р 2.

 

выпукла, потому что у" ~ — 1/а;2 < 0 .

 

 

 

П р и м е р З .

Кривая

у = х3

 

выпукла

при X <

0 н вогнута

при

 

X >

0,

потому

что у" =

6х <С 0 при

 

г < 0 и / > 0

при

X

0.

В точке

 

х0 = 0

вторая

производная

обра­

 

щается в нуль. Точка перегиба имеет

II р и м е р

абсциссу х0 = 0.

 

 

 

 

 

4. Кривая у — х* всюду вогнута в силу определения поня­

тия выпуклости.

Однако в точке хй =

0

вторая производная

обращается

впуль и условие (11) нарушено.

Пр и м е ч а н и е ! . Вторая производная дважды дифференцируемой

функции может обратиться в нуль в отдельных точках промежутка выпук­ лости или вогнутости ее графика (см. пример 4)-

П р и м е ч а н и е 2. Вторая производная дважды дифференцируемой в (о, Ъ) функции не может обратиться тождественно в нуль ни в каком про­ межутке выпуклости или вогнутости графика функции. Действительно, если бы в (а, Ъ) имели /" (х) = 0, то в силу следствия из теоремы Лагранжа /' (х) = к

и / (х) = кх +

Ь. Но график линейной функции — прямая линия, не обла­

дает свойством

выпуклости или вогнутости. Поэтому }" (х) ф 0 в (а, Ь).

Если /" (z) меняет знак при переходе

через точку х 0, то ме­

няет знак и

разность у — Y , и в

точке

ж0 налицо перегиб.

П р и м е р

5. График функции у =

хъ имеет точку перегиба М 0 с аб­

сциссой х0 = 0, потому что при переходе через точку х() = 0 вторая произ­ водная меняет знак минус на плюс.

В точке перегиба вторая производная может не существовать. Это показывает следующий пример.

II р и м е р

6. Функция задана

равенствами у = —а + У аг—ж3 при

—а =+ ж ïg 0, у =

b—У Ь-—ж2 при О

ж =+ 6. Ее график составлен из дуг

окружностей различных радиусов а и 6. Точка ж0 = у 0 = 0 есть точка пере­ гиба. В ней функция непрерывна, имеет первую производную у' — 0, но не имеет второй производной.

43. Асимптоты. Перейдем к изучению бесконечных ветвей графика функции у = / (х), если такие ветви имеются. Бесконеч­ ной ветвью кривой называется такая ее часть, на которой имеются точки, сколь угодно далекие от начала координат. Например, окружность не имеет бесконечной ветви, а парабола имеет две

бесконечных ветви.

 

 

Асимптотой бесконечной ветви кривой называется прямая

расстояние

<5 до которой от точки М кривой стремится к нулю

когда

точка

М

вдоль

этой

ветви

неограниченно удаляется

от

начала

координат.

Если

обозначить

через d (О, М) рас­

стояние от начала координат О

до

точки М (рис. 32), то

 

lim ô^O

при

d(0,M )

оо.

 

 

 

 

 

 

(12)

 

Различают

асимптоты

вер­

тикальные

(т. е. параллельные

оси

 

ординат)

и

наклонные

(т. е. не параллельные оси ор­

 

 

 

динат).

В е р т и к а л ь н ы е

аи м и т о I ы. Из

определения

1.

асимптоты следует, что если / (х)

- у О О

при X -у х 0 +

0, или при

X -> х 0 — О,

ИЛИ при X - У Х 0, то

прямая X = х 0 есть асимптота

кривой

/ (х)

(см. рис. 32).

 

 

 

П р и м е р

1. График функции у

X

имеет асимптоту х = 2, потому

ж —2

что у -у оо как при ж -у 2 + 0 , так и при ж

2 — 0. Для того чтобы прямая

была асимптотой, достаточно выполнения одного (любого) из этих условий.

Вданном случае кривая имеет две бесконечные ветви, для которых прямая

ж= 2 служит единой асимптотой (рис. 33).

Правило нахождения вертикальных асимптот таково: 1) нахо­ дим точки разрыва функции, 2) исследуем поведение функции при стремлении аргумента слева и справа к каждой из этих точек. Если при этом окажется, что / (х) — функция бесконечно боль­

шая,

то X = х 0 есть уравнение

вертикальной асимптоты.

уравне­

2.

Н а к л о н н ы е а с и м п т о т ы изображаются

нием

вида

 

 

 

у — ах +

Ъ.

(13)

75

Заметим, что если бесконечная ветвь имеет наклонную асимптоту (с углом наклона ср), то вместе с условием (12) будет выполнено

условие lim РМ = 0

при

х -»- оо, так как РМ — ~со° ф » гДе

cos ф — const (см. рис. 32).

Здесь

величина

РМ —A M — АР —

— і (х) — ах — Ъ, поэтому

имеем

 

 

 

lim 1/ (ж) — ах — Ъ] — 0

(14)

при X ->- + оо или X

— оо, т. е.

разность

ординат кривой и

асимптомы есть величина бесконечно малая при стремлении х к сю.

Но тогда

и величина — \f{x) — ах — Ь] — бесконечно

малая.

 

ь

]

 

 

 

Отсюда следует, что

Поэтому

— а -----

О при X

со.

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

а — lim

/ (ар

 

 

(15)

 

 

 

х ~ * СО

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зная а, находим величину

b из

равенства

(14):

 

 

 

6

= lim [f{x) — ах].

(16)

 

 

 

Х - * СО

 

 

 

 

Если существуют пределы (15) и (16), то кривая имеет наклонную асимптоту, которая изображается уравнением (13). При этом надо

различать два случая:

х

+ оо и ж

— оо-

П р и м е р 2. у =

-. Вертикальная асимптота х = 2 найдена в при-

х —2

 

 

мере 1. Для нахождения наклонных асимптот вычисляем а и 6 по формулам

(15) и

(16):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а = 1і т — î— = 0, Ь = 1 і т — î - ^ - = l .

 

 

X —

2

 

 

 

X —

2

 

Следовательно, прямая у — 1

есть горизонтальная

асимптота как при х->-

-> + ° о ,

так как и при х -*■ —оо

(см. рис. 33).

 

(15) и (16) находим

П р и м е р З . у = X — 2 arctg х. По формулам

 

в =

lim

n

- l a

r c t g

, - ! ^

 

 

Х -+ i

0 0

L

 

x

J

 

 

 

Ь = —2 lim

 

 

 

—

я при X

•— т - p оо,

 

arctg x =

я при X

-*■—оо.

 

 

 

 

 

 

Следовательно, график функции имеет две наклонные асимптоты:

у = Ж + Я при X -і-----оо и у — х —я при X —> -J-оо (рис. 34).

44. Общая схема исследования функции. Пусть дана функция. Можно рекомендовать следующую схему ее исследования: 1) выяс­ ним область существования функции, найдем точки разрыва и установим поведение функции вблизи точек разрыва, 2) найдем промежутки возрастания и убывания функции, 3) исследуем функ­

Смотрите также файлы