ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.04.2024
Просмотров: 167
Скачиваний: 2
цию на экстремум, 4) найдем промежутки выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба, 5) найдем асимптоты и выясним располо жение графика функции относительно асимптот, 6) найдем точки пересечения графика функции с осями и другие дополнительные точки, 7) построим график функ ции.
При этом полезно установить, является ли данная функция чет ной или нечетной. Напомним, что функция называется четной в про межутке (—а, а), если в нем вы полнено условие / (—х) = / (ж); график четной функции симмет ричен относительно оси ординат. Например, у = cos х или у = ■— X sin X — четные функции.
Функция называется нечетной в (—а, а), если выполнено усло вие / (—х) = — / (х). График не четной функции симметричен отно сительно начала координат. На пример, у = Xs или у = X cos 2х —
П р и м е р . |
Функция у = |
е~ <-х~а'>2 всюду непрерывна, положительна. |
Ее производная у' |
= 2 (а — х) у |
обращается в нуль только в точке ж0 = а, |
в которой функция имеет максимум. Ее вторая производная у" — 2у [2 (х—
—а)2 — 1 ] обращается в нуль только в точках х 1= а — |
1 и х2 = |
а + |
1 . |
|||||
В промежутках —оо < J х <; |
и х г <; х <! °о функция вогнута, |
в проме |
||||||
|
жутке (хх, |
х 2) |
функция |
выпук |
||||
|
ла. Имеется одна горизонтальная |
|||||||
|
асимптота у |
= 0, так как пределы |
||||||
|
(15) |
и |
(16) |
равны нулю. |
Точки |
|||
|
x t и хг суть точки перегиба. |
Кри |
||||||
|
вая |
симметрична |
относительно |
|||||
|
прямой |
X = |
а. |
График |
функции |
|||
|
изображен на |
рис. 35 — это так |
||||||
|
называемая кривая Гаусса. |
|
||||||
|
|
45. |
Кривизна. |
Наиболее |
||||
|
естественной |
характеристи |
||||||
|
кой |
искривленности |
дуги |
|||||
|
кривой является |
изменение |
||||||
угла поворота касательной к этой кривой при перемещении точки касания от одного конца дуги к другому.
Рассмотрим график функции у = / (х), |
которая предполагается |
||||||
дважды дифференцируемой в |
рассматриваемой |
области. |
Пусть |
||||
А и В — две |
точки |
графика, |
соответствующие |
значениям |
аргу |
||
мента |
X и X + |
Дж. |
Выберем на кривой |
начало |
отсчета |
дуг — |
|
точку |
N и положительное направление |
отсчета |
дуг (например, |
||||
направление увеличения абсциссы). Обозначим приращение угла
поворота касательной на дуге AB: |
Дф = |
|
фв — ф4, |
приращение |
||||||||||||
длины дуги * обозначим |
(рис. 36) |
As = |
|
w / lB |
— v ^ N B |
— V J N A . |
||||||||||
Средней кривизной дуги AB называется абсолютная величина |
||||||||||||||||
отношения угла поворота касательной на дуге AB к длине этой |
||||||||||||||||
дуги: |
кср |
Дф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
As |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кривизной кривой в точке А называется предел средней кривизны |
||||||||||||||||
дуги AB при стремлении длины дуги |
|
As к нулю: к = lim кср |
||||||||||||||
при |
As |
0, причем В—>-Л. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
d(f |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
к |
: |
lira |
Д ф |
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
|||
|
|
|
|
ds |
j |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
As-O |
A s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Таким |
образом, |
|
кривизна |
равна |
||||||||
|
|
|
|
абсолютному |
значению |
производ |
||||||||||
|
|
|
|
ной угла |
наклона |
|
касательной ф |
|||||||||
|
|
|
|
по длине |
дуги s. |
Кривизна |
слу |
|||||||||
|
|
|
|
жит мерой искривленности кривой |
||||||||||||
|
|
|
|
в бесконечно |
малой |
окрестности |
||||||||||
|
|
|
|
соответствующей |
точки. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
1. |
На прямой Д ф = О, |
||||||||
|
|
|
|
поэтому |
кСр = |
0 |
и |
кривизна прямой |
||||||||
|
|
|
|
равна нулю: к — 0. |
|
окружности ра |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 2. |
На |
|||||||||
|
|
|
|
диусом |
R |
|
имеем |
Д ф |
= |
а |
(рис. 37), |
|||||
|
|
|
|
, |
__ |
« |
|
И Кривизна окружности |
||||||||
|
|
|
|
Аср |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
постоянна |
|
и |
|
обратна |
радиусу: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
_ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Puc. 36. |
|
к°кр ~ |
Д • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В ы в о д ф о р м у л ы |
к р и в и з н ы . |
Дана |
дважды |
диф |
||||||||||||
ференцируемая функция |
у |
= f (х). |
Пусть |
по-прежнему |
N |
— на |
||||||||||
чало отсчета дуг на графике функции / (х) (см. рис. 36). Обозна чим через s длину дуги s где А — точка, имеющая абсцис су X. Длина дуги s является функцией абсциссы х конца этой дуги: s = s (х). Угол наклона касательной ф также является функ цией абсциссы точки касания: ф = ф (х). Предположим, что обе функции s (х) и ф (х) имеют производные по ж и поэтому непре рывны.
Параметрические уравнения ф = ф (х), s = s (х) определяют
зависимость величины ф от |
s. Переменная х играет здесь роль |
||
параметра. Требуется найти |
фз. По правилу дифференцирования |
||
функции, заданной |
параметрически, имеем |
|
|
|
|
ф( = фх/4. |
(18) |
Найдем числитель |
и знаменатель правой части формулы |
(18). |
|
* Здесь мы пользуемся интуитивным представлением длины дуги кривой. Строгое определение этого понятия будет дано в главе IX.
у' |
1. |
Согласно |
геометрическому значению |
производной имеем |
||||||
= |
tg ср. |
Следовательно, |
ф =- arctg у' |
и |
|
|||||
|
|
|
|
<Рх |
1 + |
</'2 |
|
(19) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. |
При |
вычислении производной |
длины |
|
|||||
дуги s'x мы используем следующую лемму, |
|
|||||||||
которую примем |
без доказательства: предел |
|
||||||||
отношения |
длины |
бесконечно малой |
дуги к |
|
||||||
стягивающей ее |
хорде |
равен |
единице: |
|
||||||
lim KJAB/AB = 1 |
при AB -> 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
Из р\АВС (см. рис. 36) |
по |
теореме Пи |
|
||||||
фагора следует, |
что AB2= (Ах)2-Р (Ау)2 |
и |
|
|||||||
~ |
= |
]/"1 + (-^ | Y |
. Для нахождения |
s* рас |
|
|||||
смотрим отношение |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
As |
\J AB |
\J AB T Г . , / Ay \ 2 |
|||||
|
|
|
Ax |
Ax |
AB |
У |
' V Ax ) |
" |
||
Перейдя в этом равенстве к пределу при Ах —ѵ 0, получим Сог
ласно |
лемме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s'x = Ѵ і + гЛ |
|
|
|
(20) |
||
Из |
равенств |
(18) —(20) следует |
формула |
кривизны |
|
||||
|
|
|
|
|
к = ± |
|
/2ЛЭ/2 |
(21) |
|
|
|
|
|
|
(і+Ѵ 2) |
|
|||
|
|
|
Кривизна (по определению) всегда положи |
||||||
|
|
|
тельна, поэтому знак |
|
в |
правой части фор |
|||
|
|
|
мулы |
(21) выбирается |
согласно правила: |
||||
|
|
|
плюс, |
если |
у" >>0, т. е. |
если кривая во |
|||
|
|
|
гнута; минус, если у" |
< 0 , |
т. е. если |
кривая |
|||
|
|
|
выпукла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р . |
Найти |
кривизну параболы у =* |
||||
водные |
|
у' = 2ах, |
= ах2 |
(а >> 0). Вычисляем первую и вторую произ |
|||||
|
у ” = 2а и |
по формуле (21) |
получаем |
|
|||||
|
|
|
к |
2а |
|
|
|
|
(22) |
|
|
|
(1 + 4а2ж2)3/2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При ж = |
0 имеем наибольшую кривизну к = 2а. При увеличении |
| х | кри |
|||||||
визна |
к |
уменьшается. |
|
|
|
|
|
|
|
Введем несколько понятий. Окружностью кривизны кривой I в точке М называется окружность, которая обладает следующими свойствами: 1) проходит через точку М и имеет с кривой общую касательную, 2) имеет одинаковое направление вогнутости с
кривой I в окрестности точки М , 3) имеет ту же кривизну, что и кривая I, в точке М , т. е. кокр = kt (рис. 38).
Радиусом кривизны R кривой I в точке М называется радиус соответствующей окружности кривизны.
Из формулы кокр— k t |
следует — --- к, т. е. радиус кривизны |
|
есть величина обратная кривизне: |
|
|
|
{і + у'2У/г |
(23) |
|
I У" |
|
|
|
|
Центром кривизны кривой I в точке М называется центр соот |
||
ветствующей окружности |
кривизны. Геометрическое место цент |
|
ров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Сама кри вая но отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
П р и м е р . |
Радиус кривизны параболы у = ах2 равен R ~ |
=(1 -f- 4я2ж2)3!2/2а. Ее эволюта изображена на рис. 39.
46.Касательная, нормаль и связанные с ними отрезки.*
Рассмотрим график дифференцируемой функции у = / (х) и точку
М 0 (я0> Уо) на нем (рис. 40). Проведем касательную (см. п. 27) к графику в точке М 0, а также нормаль к этой кривой в точке М 0. Нормалью к кривой в данной точке называют прямую, проходящую через М 0 перпендикулярно касательной в точке М 0. Составим
уравнения этих прямых. Если в уравнении пучка прямых |
(см. |
|
п. 72) с центром в точке М 0 у — у 0 = к (х — х0) положить |
к = |
|
= f' (х о) = У’о то |
получим соответственно с определением |
каса |
тельной уравнение |
касательной |
|
У — Уо = Г (хо) (х — хо)-
* Пункты 46 и 47 изучаются после п. 72.
